好吗?我想讲一种稍微不同的方法来解一阶线性方程。如果你看这个方程,我举个例子。这是最好的。你注意到我们最喜欢的方程有什么不同了吗?变化量是2t。利率a随时间增加,随时间变化。所以我们仍然有一个线性方程,仍然只有y,但是系数是变化的。我们有一个可变系数2t。
如果我们把它应用于经济,应用于银行,那将是严重的通货膨胀,利率2t不断攀升,永远攀升。但是我们想知道这是一类我们可以解的方程。好的。这个新方法叫做积分因子。这个神奇的因子使方程变得简单。这是另一种很好的方法来解决目前为止我们处理过的所有问题,加上这个新问题。
那么这个因子是什么呢?对于2t问题,正确的因子是e ^ (- t²)为什么这是正确的因子?我要把这个因子乘在方程上,这样就简单多了。这是正确选择的原因是它的导数,还记得如何用链式法则求导吗?
导数还是e ^ (- t²)I,乘以指数的导数。这个指数的导数是- 2t。- t²变成- 2t。就是这个小装置给了我们一个积分因子使方程变得简单。
现在我们来看方程。我要看的是I * y的导数,不只是dy / dt,而是I * y的导数,这里有一个乘积。要用乘法法则。也就是I (dy / dt)好的。dy / dt等于,我们可以从方程中得到dy / dt, I * 2ty + q (t)现在我要加上dI / dt / y,很好。
这是乘积法则,I乘以y的导数加上I乘以y的导数,现在看。dI / dt等于- 2tI。那么dI / dt,现在我要用到关于I的关键事实,那就是- 2tIy。看,- 2tIy约掉2tIy。现在我有了一个很好的方程。Iy的导数是Iq。Iy的导数是Iq。我可以对两边积分。这就是关键。这是关键。
如果我对左边积分,我把这个往上移,对导数积分,当然,导数的积分就是函数,t时刻的Iy减去0时刻的Iy, y (0)因为注意到t = 0时的I,我可以提一下吗,I(0) = 1。t = 0时,I (e ^ 0) = 1。所以I(0) = 1。这就是导数的积分。
右边,我有∫iq,从0到t,所以我代入,对,e ^ (- s²)q (s) ds。我引入了一个s从0到t积分的变量,你们还记得这种公式吗?输入是连续的,我看的是t时刻的输出结果,所有的输入都进去了。它们都乘以某个因子,然后积分得到这些输入的总结果。
好的。我快到了。我要记住,我要除以I (t)所以我有y的公式,好的。y的公式,当我除以I (t)时,不要忘了I (t)是什么。我再写一遍。让我提醒一下自己。I (t)等于e ^ (- t²)这就是神奇的积分因子。
好的。所以我要除以它,也就是说我要乘以e ^ t²。这就消去了这里的I。我把这个放到方程的另一边,y (0) y(0)然后乘以e ^ t²。这个要乘以e ^ t²。∫e ^ (t²- s²)q (s) ds,从0到t。这就是我的答案。
我们来看看。已知y (t)这是y(0)的结果。增长因子从原来的e ^ (at)变成了e ^ (t ^ 2)也就是不变增长率,利率a。这是增加的利率带来的增长。
在这里,我看到了结果,输出,来自输入q,来自0到t之间的所有输入,每个输入乘以这个因子不是从0到t的增长,这是从0到t的增长,这是从s到t的增长,因为输入是在时间s进入的,它有更短的时间,t - s,增长。
这就是答案的公式。如果你给我任意特定的q (s)我只要做积分,就能找到微分方程的解。积分因子让事情得以解决。
也许我应该说积分因子一般是什么。让我花点时间看一下——这是一个例子。这是一个a (t) = 2t的例子。一般的积分因子是什么?所以我们总是要求积分因子。构造法则是,它的导数应该是- a (t)乘以I本身。这就是我们选择e ^ (- t²)的原因。那么a (t) = 2t。
现在我要给出一般规则。积分因子的一般规则是方程的解。这个方程的解在例题中给出了e ^ (t ^ 2)这就是例子。
但现在我想要一个公式来结束整个变化利率的情况。我想求出这个方程的解。这是积分因子。它是e的负号。当求导时,我要把a写下来。我在这里写的是,∫a (t) dt,从0到t。
现在,让我再做一遍这个例子。我有e ^ (- 2t)的积分,也就是e ^ (- t²)这就是我们如何得到t²作为正确选择的例子。一般规则是这样的。这是积分因子。
最后,最后,如果a是常数,这是最常见的情况——这是我们在这集视频之前遇到的唯一的情况——如果a是常数,那么a从0到t的积分就是a乘以t,第一个例子,第0个例子,就是e ^ (- at)如果a是常数,这就是正确的积分因子。
我会举一些例子,一些问题,只是为了在积分因子为常数的最好情况下通过这些步骤。但现在我们可以用不同的利率来解。很好。谢谢你!
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