从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
指数输入,e圣从外面,指数增长,e在从内部,解决方案,y (t)是两个指数的组合。
好的。我们仍然在谈论dy dt的一阶微分方程。还有一项总值比例平衡。这可能是添加的兴趣在y。然后是输入,源项,存款了。
所以我想解决这个微分方程。这是最好的函数微分方程。指数。因为指数函数的导数是指数。它只是简单的。
和输出,解决方案被称为指数的反应。这个词反应说出来当e的圣会。开始之前,我们有一些存款,y为0。初始条件在时间为0。好的。
这是关键,这个漂亮的源函数,解决方案,或一个解决方案,一个特定的解决方案,将只是一个多个e的圣所有我要做的就是找到这个数字,Y,我有这个方程的解。我怎么做吗?把这个代入方程求出y .让我们这样做。
这个的导数,导数的指数将下降的一个因素。所以会有一个y e的圣阶导数。这必须等于Y e圣,加上源项e圣好吗?我只是代替它。
我的好处,现在取消,我除以e圣,也从来不是0。所以我除以——提出e圣,因素。它只是让我1。所以我有Y, Y乘以一个+ 1。我写这个方程可以看到它。
这是s - a * Y = 1。对吧?我* Y,把它放在左边的方程。所以我发现了指数的反应。1 / s - a。所以我有一个解决方程。
这不是结束,因为这解决方案不会匹配的初始条件。所以我怎么匹配一个初始条件?我发现一个特解,我也需要零解,齐次解。所以完整的解决方案,y (t),这是y。
所以Y,我现在知道的是。所以我有一个圣/——我把Y, Y的正确价值这就是我发现的特解。加任何空的解决方案。记住,零的解决方案,这个词已经一去不复返了。金宝搏官方网站所以源是0。这就是为什么“零”这个词。
所以我寻找解决dy dt等于啊。和解决dy / 金宝搏官方网站dt等于ay e的,乘以任意数量。因为现在右边是0。这是y。让我写下来。这是y, y为空,或y均匀。
这是通用的解决方案。完整的解决方案已经形成。现在我可以匹配y = y (0 t等于0。我把在t = 0时,我得到y (0 = t = 0,这是1。所以1 / s - a。当t = 0,这是1,所以加上C。现在我知道什么是C。注意,C不仅仅是y(0),有时在过去。C是y (0 -。
你现在准备好完整的解决方案以满足初始条件吗?所以现在我要——这在正确的形式。这告诉我C。所以我把它放在我这个解决方案。
y (t)是e圣/ s - a,简单,+ C, C是y (0 - 1) / (s - a。这就是我们需要的。乘以e的。这是我们的答案。这是我们的答案。
我可以让它看起来更好一点。我想。我想分开y为0的情况下,这只是一部分增长从初始条件的一部分来自源项。我只是想把它在一起。
所以我下面有相同的s - a。这是一个e圣。和我有一个- 1 / s -,乘以e的。然后我有这一项,这正在增长。这是真的很好。这是初始存款增长的一部分。
我使用,与额外的钱在银行存款,e圣,这是一部分来自那些后来存款。初始部分,一部分来自那里。这是,一个空的解决方案。e的倍数。
这是另一个特定的解决方案。记住,没有一个特定的解决方案。任何解决方案都是一个特定的解决方案。这是,我叫特别的解决方案。因为它有很好的属性,它从0开始。
t = 0,这是1 - 1,我得到0。所以我就叫y副总裁。我将介绍这些字母,而不是标准的一部分。然后y均匀或y null,这部分。好的。问题解决了。指数生长在这种方式,直接和初始条件的增长。好的。
问题已经解决了只有一个例外。现在我要花一分钟的例外。唯一的例外是公式分解如果等于一个。如果年代等于一,我除以0。我的公式是分崩离析。共振的情况。我把这里,年代平等,共振。
我们总是认为这是一种可能性,我们把钱自然增长指数相同的钱,或者我们成长。和我们的公式必须改变。你可能会说它是无限的,因为我除以0。
但要注意上面的部分也是0。如果s = a,这是e圣- e。这些都是相同的。所以我有一个0/0的情况。我的公式是打破,但它不是死亡。需要更多的思考。共振的情况下需要——我必须明白这是当s =。
让我告诉你它是什么。然后告诉你为什么。这是平等的。如果年代相等,那么y特别+ y零空间。这是非常特殊的解决方案,有一种不同的形式。
这是形式。一个因素出现。你只要学会识别t共振的因素。所以这将是一个t e。现在是一样的,所以年代不出现。这就是解决方案,从0开始,和它来自输入。这是部分是从y(0)和生长。
所以你看,最终,这将是更大的一个。共振的情况下,它变得像e的,一点额外的增长(t)。现在我有一个解决方案,特殊情况,当s =。
你想知道这是这个年代的方法?让我来告诉你三分钟。洛必达法则。你还记得从微积分,0/0,处理的方式,被这家伙的名字,叫做洛必达?医院,我猜。也许法国的医院。
和你这0/0的表情。这是一个比两件事。顶部时0年代去,因为这些成为一样的。底部时0年代去。和右——洛必达很酷的想法是你得到相同的答案如果你把衍生品的比率。
所以洛必达说,取最高的衍生品的比例-导数——哦,除以底部的导数。然后让年代去。好的。所以我必须把这个导数,我需要导数。通常在微积分,这是一个x。这是一个年代。没什么大不了的。
导数是——你对s求导。我们会降低——啊,来了t。s的导数是t e圣的导数是1。现在我让去。嗯,很容易让年代去了。这个东西的方法。我的t e的极限。
所以洛必达法则是共振的原因这个公式。但是,我强调,希望t当你有这个共振的一个因素。好的。这是最好的解决方案右边e圣,也许最好的是一个常数。第二个简单是一个指数。接下来,将正弦和余弦。下节课。谢谢。
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