来自系列:解决matlab的杂物
Moller,Mathworks
ODE4实现了经典的跑步-Kutta方法,这是过去100年来杂散最广泛的数值方法。它的主要缺点是缺乏估计误差。火焰的生长的简单模型是这里和以后的视频使用的示例。
这是古典runge-kutta方法。这是迄今为止,这是世界上上半年在20世纪上半叶的100多年来的世界上最受欢迎的数值方法,然后在20世纪后半叶计算数字电脑。我怀疑今天仍在使用。
您每步评估四次功能,首先在间隔开始时。然后使用它进入间隔中间,以获得S2。然后,使用S2再次进入间隔的中间。
并再次评估该功能以获得S3。然后在间隔中使用S3逐步清除,并获得S4。然后采取四个斜坡的组合,在中间加权两个坡度,以迈出最后一步。这是古典跑步-Kutta方法。
这是我们的Matlab实现。我们将称之为ODE4,因为它每步评估功能四次。相同的论点,向量y out。现在我们有四个斜坡 - 在开始时S1,S2中间的中间,S3再次在中间,然后在右手S4。S1,S2,1/3的S2,1/3的1/6和S4的1/6的S2和1/6给您最终步骤。这是古典跑步-Kutta方法。
卡尔跑步是一个相当杰出的德国数学家和物理学家,他在1895年发表了这个方法,以及其他一些方法。他产生了许多其他数学论文,并且相当闻名。
Martin Kutta独立发现了这种方法,并在1901年发布了它。他对别的任何东西都没有众所周知。
我想追求一个简单的燃烧模型。因为该模型具有一些重要的数值。如果光点亮,火焰球会迅速增长,直到它达到临界大小。然后仍然存在于此尺寸,因为球在球的内部被燃烧消耗的氧气的量平衡通过表面可获得的量。
这是无量纲模型。比赛是一个球体,而Y是它的半径。Y立方项是球体的体积。而Y立方体占内部燃烧。
球体的表面是比例Y平方。和Y平方术语占通过表面可用的氧气。关键参数,重要参数,是初始半径,y0,y naught。
半径以Y0开始,长到Y立方体和Y平衡术语相互平衡,此时增长率为0.并且半径不再生长。我们很长一段时间结合在一起。我们整合了一个与初始半径成反比的时间。那是模特。
这是一个动画。我们在这里开始于小火焰,一个小球形火焰。你会在那里看到一个小半径。时间和半径显示在图的顶部。它开始增长。
当时间达到50时,我们通过了一半。火焰排出的爆炸,然后启动半径1,此时两个术语彼此平衡。火焰停止生长。虽然你不能在这个规模上看到它,但它仍然在这里略微增长。
让我们为runge-kutta设置这个。微分方程是y prime是y平方减去y立方。从零开始,临界初始半径,我将花点为0.01。这意味着我们将在y0 y0 over to time 200上融合。
我打算选择步长500步。我只是打算任意挑选这一点。好的,现在我已经准备好使用了ode4。我将在y中存储结果。
它达到了1.我要绘制结果。所以这是我需要的值的值。这是情节。
现在,你可以看到火焰开始成长。它变得相当慢。然后通过时间间隔中途,它有点爆炸并快速上升,直到它到达1的半径,然后在这里保持。
现在这种过渡期相当狭窄。我们将继续研究这个问题。这种过渡区域将为数值方法提供挑战。
现在,我们刚刚经历了它。我们有一个步骤h,我们仔细采摘。我们刚刚生成这些值。我们有点很少想到这些数字的准确性。
他们看起来不错。但他们有多准确?这是关于关于古典runge-kutta方法的关键问题。我们在图表中有多么可靠?
我有四次练习供您考虑。如果微分方程不涉及Y,则该解决方案仅为一体。并且runge-kutta方法成为数字集成的经典方法。如果您研究了此类方法,那么您应该能够识别此方法。
数字。两个 - 找到Y Prime等于1加y平方的精确解决方案,y为0等于零。然后,当您尝试在0到2的间隔内尝试将其解决时,ode4与ODE4发生的情况。
第三名 - 如果间隔的长度不完全可按阶梯大小完全阻止,会发生什么?例如,如果t最终是pi,则步长为0.1。不要试图解决这个问题。它只是固定步长的危险之一。
最后,锻炼4--初始半径为1 / 1,000的火焰问题。对于t的值,半径达到最终值的90%?
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(以中文或英文)以获取最佳网站性能。其他MathWorks国家网站未优化您的位置。