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条件平均模型的MMSE预测

什么是MMSE预报?

时间序列建模的一个共同目标是在未来的时间范围内生成过程的预测。也就是说，给定一个观测序列y1，y2、……yN还有预测范围h生成预测 y N + 1 ， y N + 2 ， … ， y N + h ．

让 y ^ t + 1 表示对该过程的预测t+ 1，条件为进程的历史时间t，Ht，以及外生协变量级数t+ 1,Xt+ 1，如果模型中包含回归组件。最小均方误差(MMSE)预报就是预报 y ^ t + 1 使期望的平方损失最小化，

E （ y t + 1 − y ^ t + 1 | H t ， X t + 1 ） 2 ．

最小化这个损失函数得到MMSE预测，

y ^ t + 1 ＝ E （ y t + 1 | H t ， X t + 1 ） ．

如何预测生成MMSE预测

的预测函数递归地生成MMSE预测。当你打来电话预测，则指定模型Mdl、预报视界numperiods，以及样本回应Y0．您可以选择指定示例创新“E0”、条件方差“半”，以及外生数据“X0”通过使用名称-值对参数。虽然预测不需要X0或预测样本外生数据XF，如果您指定X0然后还必须指定XF．

从观测序列的末尾开始预测Y的最后几个观察Y作为样本回应Y0初始化预测。当你指定样本数据时，有几点需要记住:

  • 初始化预测所需的最小响应数存储在属性中P一个华宇电脑模型。如果你提供的样本观测太少，预测返回一个错误。

  • 如果您预测一个带有MA成分的模型，那么预测需要创新样本。所需的创新数量存储在属性中问一个华宇电脑模型。如果您也有条件方差模型，则必须额外考虑它所需的任何样本创新。如果你指定了样本创新，但还不够，预测返回一个错误。

  • 如果你不指定任何样品创新，但指定足够的样品反应(至少P+问)和外生协变量数据(至少减去样本响应的数量)P),然后预测自动推断样本创新。一般来说，您提供的样本响应序列越长，推断的样本创新就越好。如果你提供了样本响应和外生协变量数据，但还不够，预测将样本创新设置为零。

  • 如果你预测一个带有回归成分的模型，那么预测需要预测期内所有时间点的未来外生协变量数据(numperiods)。如果你提供了未来的外生协变量数据，但还不够，那么预测返回一个错误。

考虑为AR(2)过程生成预测

y t ＝ c + ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + ε t ．

给定样本观测值 y N − 1 和 y N ， 预测是按如下方式递归生成的:

  • y ^ N + 1 ＝ c + ϕ 1 y N + ϕ 2 y N − 1

  • y ^ N + 2 ＝ c + ϕ 1 y ^ N + 1 + ϕ 2 y N

  • y ^ N + 3. ＝ c + ϕ 1 y ^ N + 2 + ϕ 2 y ^ N + 1

⋮

对于平稳AR过程，该递归收敛于该过程的无条件均值，

μ ＝ c （ 1 − ϕ 1 − ϕ 2 ） ．

对于MA(2)过程，例如:

y t ＝ μ + ε t + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 2 ，

您需要2个样本创新来初始化预测。所有的创新都来自时代N+ 1或更大的被设置为它们的期望，0。因此，对于MA(2)过程，对未来超过2步的任何时间的预测为无条件平均值，μ．

预测误差

的预测均方误差年代-步前预报由

均方误差 ＝ E （ y t + 年代 − y ^ t + 年代 | H t + 年代 − 1 ， X t + 年代 ） 2 ．

考虑下给出的条件平均模型

y t ＝ μ + x t ” β + ψ （ l ） ε t ，

在哪里 ψ （ l ） ＝ 1 + ψ 1 l + ψ 2 l 2 + … ．对滞后创新的方差求和，得到年代一步一步MSE,

（ 1 + ψ 1 2 + ψ 2 2 + … + ψ 年代 − 1 2 ） σ ε 2 ，

在哪里 σ ε 2 表示创新方差。

对于平稳过程，无限滞后算子多项式的系数是绝对可和的，MSE收敛于过程的无条件方差。

对于非平稳过程，该序列不收敛，预测误差随时间增大。

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