主要内容

条件方差模型

通用条件方差模型定义

考虑时间序列

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t ．在这里,zt是标准化随机变量的独立同分布序列。计量经济学工具箱™支持标准化高斯和标准化学生金宝app的t创新分布。常数项, μ ，为平均偏移量。

一个条件方差模型指定创新方差的动态演化，

σ t 2 ＝ V 一个 r （ ε t | H t − 1 ） ，

在哪里Ht1是历史的过程。历史上包括:

  • 过去的方差, σ 1 2 ， σ 2 2 ， .．. ， σ t − 1 2

  • 过去的创新, ε 1 ， ε 2 ， .．. ， ε t − 1

条件方差模型适用于不表现出显著自相关但具有序列相关性的时间序列。创新系列 ε t ＝ σ t z t 是不相关的,因为:

  • E（εt) = 0。

  • E（εtε张茵) = 0t和 h ≠ 0.

然而,如果 σ t 2 取决于 σ t − 1 2 例如，那么εt取决于εt - 1尽管它们不相关。这种依赖性在创新平方级数中表现为自相关， ε t 2 ．

提示

对于自相关和序列相关的时间序列建模，可以考虑使用复合条件均值和方差模型。

条件方差模型处理的金融时间序列的两个特点是:

  • 波动聚类．波动率是时间序列的条件标准差。条件方差过程中的自相关导致了波动率聚类。GARCH模型及其变量在方差序列中建立自回归模型。

  • 杠杆效应．某些时间序列的波动率对大幅下降的响应大于对大幅上升的响应。这种不对称的集群行为被称为杠杆效应。EGARCH和GJR模型有杠杆条款来模拟这种不对称。

GARCH模型

的广义自回归条件异方差GARCH模型是关于方差异方差的ARCH模型的扩展<一个href="//www.tatmou.com/de/de/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">［1］．如果一个系列显示了波动率聚类，这表明过去的方差可能是当前方差的预测。

GARCH (P，问)模型是对条件方差的自回归移动平均模型，具有P与滞后方差相关的GARCH系数，和问与滞后平方创新相关的ARCH系数。GARCH的表格(P，问计量经济学工具箱中的)模型为

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

σ t 2 ＝ κ + γ 1 σ t − 1 2 + .．. + γ P σ t − P 2 + α 1 ε t − 1 2 + .．. + α 问 ε t − 问 2 ．

请注意

的常数财产的garch模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

对于平稳性和正性，GARCH模型有以下约束条件:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 ， α j ≥ 0

  • ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 + ∑ j ＝ 1 问 α j < 1

指定恩格尔的原始ARCH(问)模型，使用等效的GARCH(0，问)规范。

EGARCH模型

指数GARCH (EGARCH)模型是GARCH的一种变体，它对条件方差过程的对数进行建模。除了对数建模之外，EGARCH模型还有额外的杠杆项来捕捉波动率聚类中的不对称性。

EGARCH (P，问)模型P与滞后对数方差项相关的GARCH系数问与滞后的标准化创新规模相关的ARCH系数，以及问利用与签名的、滞后的标准化创新相关的系数。EGARCH的形式(P，问计量经济学工具箱中的)模型为

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

日志 σ t 2 ＝ κ + ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 日志 σ t − 我 2 + ∑ j ＝ 1 问 α j ［ | ε t − j | σ t − j − E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ］ + ∑ j ＝ 1 问 ξ j （ ε t − j σ t − j ） ．

请注意

的常数财产的egarch模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

EGARCH方程中与ARCH系数相关的期望值项的形式取决于的分布zt：

  • 如果创新分布为高斯分布，则

    E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ＝ E ｛ | z t − j | ｝ ＝ 2 π ．

  • 如果创新分布是学生的t与ν> 2个自由度，那么

    E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ＝ E ｛ | z t − j | ｝ ＝ ν − 2 π Γ （ ν − 1 2 ） Γ （ ν 2 ） ．

工具箱处理EGARCH(P，问)模型作为ARMA模型 日志 σ t 2 ． 因此，为了保证GARCH系数多项式的平稳性， （ 1 − γ 1 l − .．. − γ P l P ） ，必须在单位圆之外。

EGARCH模型不同于GARCH和GJR模型，因为它对方差的对数进行了建模。通过对数建模，可以放松对模型参数的正约束。然而，EGARCH模型对条件方差的预测是有偏差的，因为Jensen的不等式，

E （ σ t 2 ） ≥ 经验值 ｛ E （ 日志 σ t 2 ） ｝ ．

对于大多数应用程序来说，EGARCH(1,1)规范已经足够复杂了。对于EGARCH(1,1)模型，GARCH和ARCH系数预期为正，杠杆系数预期为负;巨大的未预料到的下行冲击应该会增加方差。如果您得到的符号与预期相反，您可能会遇到推断波动序列和预测的困难(负的ARCH系数可能特别成问题)。在这种情况下，EGARCH模型可能不是应用程序的最佳选择。

GJR模型

GJR模型是GARCH的一个变体，它包含了对非对称波动率聚类进行建模的杠杆条款。在GJR公式中，较大的负面变化比正面变化更有可能聚集在一起。GJR模型以Glosten, Jagannathan和Runkle命名<一个href="//www.tatmou.com/de/de/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[２]．GJR模型与阈值GARCH (TGARCH)模型有密切的相似之处——GJR模型是方差过程的递归方程，而TGARCH模型是应用于标准差过程的同一递归。

GJR (P，问)模型P滞后方差相关的GARCH系数，问与滞后平方创新相关的ARCH系数，和问杠杆系数与负滞后创新的平方相关。GJR的表格(P，问计量经济学工具箱中的)模型为

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

σ t 2 ＝ κ + ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 σ t − 我 2 + ∑ j ＝ 1 问 α j ε t − j 2 + ∑ j ＝ 1 问 ξ j 我 ［ ε t − j < 0 ］ ε t − j 2 ．

指标函数 我 ［ ε t − j < 0 ］ = 1,如果 ε t − j < 0 ，否则为0。因此，将杠杆系数应用于负面创新，赋予负面变化额外的权重。

请注意

的常数财产的gjr模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

对于平稳性和正性，GJR模型有以下约束条件:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 ， α j ≥ 0

  • α j + ξ j ≥ 0

  • ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 + ∑ j ＝ 1 问 α j + 1 2 ∑ j ＝ 1 问 ξ j < 1

GARCH模型嵌套在GJR模型中。如果所有杠杆系数都为零，则GJR模型简化为GARCH模型。这意味着可以使用似然比检验对GARCH模型和GJR模型进行检验。

参考文献

英国通货膨胀方差估计的自回归条件异方差性>。费雪．第50卷，1982，第987-1007页。

[2] Glosten, L. R.， R. Jagannathan和D. E. Runkle。“股票名义超额收益的期望值与波动性的关系”。金融杂志．第48卷，第5卷，1993年，第1789 - 1801页。

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