用遗传算法求解混合整数工程设计问题

这个例子展示了如何使用遗传算法解决一个混合整数工程设计问题(遗传算法)全局优化工具箱中的解算器。

本例中所示的问题涉及阶梯悬臂梁的设计。特别是,梁必须能够承受规定的端部荷载。我们将解决一个问题,使梁体积在各种工程设计约束下最小化。

在这个例子中,我们将解决[1]中发布的问题的两个有界版本。

阶梯式悬臂梁设计问题

阶梯悬臂梁一端支撑,自由端施加荷载,如下图所示。该梁必须能金宝app够支撑给定荷载,$ P $,在固定的距离L美元梁的设计者可以改变金宝app宽度($b_i$)及身高(h_i美元)每个部分的。我们假设悬臂的每个部分都有相同的长度,l美元

梁的体积

梁的体积,$V$,是各部分体积的总和

$$V=l(b_1h_1+b_2h_2+b_3h_3+b_4h_4+b_5h_5)$$

设计约束:1-弯曲应力

考虑单个悬臂梁,其坐标中心在其横截面的中心在梁的自由端。某一点的弯曲应力$(x,y,z)$在梁中,由下列方程给出

$$\sigma_b=M(x)y/I$$

哪里$M(x)$弯矩是多少$x$$x$是距离端部荷载和我美元为梁的面积惯性矩。

现在,在图中所示的阶梯悬臂梁中,梁的每个截面的最大力矩为PD_i美元哪里$D_i$是距离端部荷载的最大距离,$ P $,适用于梁的每个截面。因此,最大应力为我美元-梁的第一部分,\ sigma_i美元,是由

$ $ \ sigma_i = PD_i (h_i / 2) / I_i $ $

最大应力出现在梁的边缘,y = h_i / 2美元. 转子的面积惯性矩我美元-梁的截面由下式给出:

$$I_I=b_ih_I^3/12$$

代入方程\ sigma_i美元给予

$$\sigma\u i=6PD\u i/b\u ih\u i^2$$

悬臂各部分的弯曲应力不得超过最大容许应力,$ \ sigma_{马克斯}$.因此,我们最终可以说明五个弯曲应力约束(悬臂的每一步一个)。

$$\frac{6Pl}{b_5h_5^2}\leq\sigma_{max}$$

$ $ \压裂{6 p (2 l)} {b_4h_4 ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

$$\frac{6P(3l)}{b_3h_3^2}\leq\sigma_{max}$$

$ $ \压裂{6 p (4 l)} {b_2h_2 ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

$ $ \压裂{6 p (5 l)} {b_1h_1 ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

设计约束:2端挠度

悬臂梁的端部挠度可以用卡斯蒂利亚诺第二定理计算

$$\delta=\frac{\partial U}{\partial P}$$

哪里\三角洲美元是梁的挠度,美元$是由于施加的力而储存在梁中的能量,$ P $

悬臂梁中储存的能量由下式给出

$$U=\int\U 0^L\!M^2/2EI\,\mathrm{d}x$$

哪里M美元是在以下位置施加力的力矩:$x$

鉴于此M = Px美元对于悬臂梁,我们可以将上述方程写成

$$U=
;P^2/2E\int\U 0^l![(x+4l)^2/I_1,
;+(x+3l)^2/I_2,
;+(x+2l)^2/I_3,
;+(x+l)^2/I_4,
;+x^2/I#5],&mathrm{$$

哪里I_n美元是物体的面积惯性矩n美元-悬臂的一部分。对这个积分求值得到下面的表达式美元$

$ $ U = (P ^ 2/2) (l ^ 3/3E) (61 / I_1 + 37 / I_2 + 19 / I_3 + 7 / I_4 + 1 / I_5) $ $

应用卡斯蒂利亚诺定理,给出了梁的端部挠度

$$\delta=Pl^3/3E(61/I_1+37/I_2+19/I_3+7/I_4+1/I_5)$$

现在,悬臂的末端偏转,\三角洲美元,应小于最大允许挠度,$\delta_{max}$,给出了下面的约束条件。

$$Pl^3/3E(61/I_1+37/I_2+19/I_3+7/I_4+1/I_5)\leq和#xA\delta_{max}$$

设计上的限制:3-纵横比

对于悬臂的每一步,长宽比不得超过最大允许的长宽比,$a{max}$.就是,

$ h_i / b_i \ leq现代{马克斯}$$i = 1,…, 5美元

说明优化问题

我们现在能够陈述问题,在给定约束的情况下,找到阶梯悬臂梁的最佳参数。

允许$x_1=b_1$$x_2=h_1$x_3 = b_2美元$x_4=h_2$$x_5=b_3$$x_6=h_3$x_7 = b_4美元$x_8=h_4$$x_9=b_5$$x{10}=h_5$

最小化:

$$V=l(x_1x_2+x_3x_4+x_5x_6+x_7x_8+x_9x_{10})$$

从属于:

$ $ \压裂{6 pl} {x_9x_ {10} ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

$ $ \压裂{6 p (2 l)} {x_7x_8 ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

$$\frac{6P(3l)}{x_5x_6^2}\leq\sigma_{max}$$

$ $ \压裂{6 p (4 l)} {x_3x_4 ^ 2} \ leq \ sigma_{马克斯}$ $

$$\frac{6P(5l)}{x_1x_2^2}\leq\sigma_{max}$$

$ $ \压裂{Pl ^ 3} {E}(\压裂{244}{x_1x_2 ^ 3} + \压裂{148}{x_3x_4 ^ 3} + & # xA; \压裂{76}{x_5x_6 ^ 3} + \压裂{28}{x_7x_8 ^ 3} + & # xA; \压裂{4}{x_9x_ {10} ^ 3}) \ leq \ delta_{马克斯}$ $

$$x_2/x_1\leq 20$$,$$x_4/x_3\leq 20$$,$$x_6/x_5\leq 20$$,
;$$x_8/x_7\leq 20$$和$$x_{10}/x_9\leq 20$$

梁的第一步只能加工到最接近的厘米,即,$x_1$$x_2$必须是整数。其余变量是连续的。变量的界限如下所示:-

$$1\leq x_1\leq 5$$

$30 \leq x_2 \leq 65$

$$2.4\leq x_3,x_5\leq 3.1$$

$$45\leq x_4,x_6\leq 60$$

$$1\leq x_7,x_9\leq 5$$

$30\leq x_8,x_{10}\leq 65$

该问题的设计参数

对于本例中要解决的问题,梁必须支撑的端荷载为金宝app$P=50000 N$

梁长度和最大端部挠度为:

  • 梁总长度,$L=500厘米$

  • 梁的单个截面,$l = 100 cm$

  • 梁端最大挠度,$\delta_{max}=2.7厘米$

梁每一步的最大允许应力,$ sigma_{max} = 14000 N/cm^2$

梁各阶的杨氏模量,$E = 2 × 10^{7} N/cm^2$

求解混合整数优化问题

现在,我们解决了中描述的问题说明优化问题

定义适应度和约束函数

检查MATLAB文件cantileverVolume.m悬臂梁了解适应度和约束函数是如何实现的。

关于线性约束的一个注记:当线性约束被指定为遗传算法,通常通过一个bAeq说真的投入。在这种情况下,我们通过非线性约束函数指定了它们。这是因为在本例的后面,一些变量将变得离散。当问题中存在离散变量时,在非线性约束函数中指定线性约束要容易得多。另一种方法是修改线性约束矩阵,使其在变换后的变量空间中工作,这不是简单的,也可能是不可能的。另外,在混合整数中遗传算法无论如何指定,线性约束的处理方式与非线性约束的处理方式没有任何不同。

设定界限

创建包含下界的向量()和上界约束(乌兰巴托).

Lb = [1 30 2.4 45 2.4 45 1 30 1 30];Ub = [5 65 3.1 60 3.1 60 5 65 5 65];

设置选项

为了获得更精确的解,我们增加了人口规模MaxGenerations选项的默认值,并减少精英帐户FunctionTolerance选项。这些设置的原因遗传算法使用更大的总体(增加的总体大小),增加设计空间的搜索(减少的EliteCount),并继续进行,直到其最佳成员的变化非常小(较小的函数公差)。我们还指定了一个绘图函数来监控惩罚函数值,如下所示:遗传算法的进展。

请注意,有一组受限制的遗传算法解决混合整数问题时可用的选项-详细信息,请参阅全局优化工具箱用户指南。

选择= optimoptions (@ga,...“PopulationSize”, 150,...“最大世代”, 200,...“EliteCount”, 10,...“功能公差”1 e-8...“PlotFcn”,@gaplotbestf);

呼叫遗传算法解决问题

我们现在可以调用遗传算法来解决这个问题。在问题陈述中$x_1$$x_2$是整数变量。我们通过传递索引向量来指定它[1 2]遗传算法在非线性约束输入之后和选项输入之前。我们还在此处播种并设置随机数生成器,以确保再现性。

rng(0,“旋风”);[xbest,fbest,exitflag]=ga(@悬臂体积,10,[],[],[],[],[],[],...lb,ub,@悬臂约束[12],选项);
优化终止:超过了最大代数。

分析结果

如果问题有整数约束,遗传算法在内部重新制定。特别是,问题中的适应度函数被处理约束的惩罚函数所取代。对于可行种群成员,惩罚函数与适应度函数相同。

解从遗传算法如下显示。注意,最靠近支架的部分被限制为宽度(金宝app$x_1$)及身高($x_2$)这是一个整数值,GA已遵守此约束。

显示器(xbest);
xbest=第1列至第7列3.0000 60.0000 2.8326 56.6516 2.5725 51.4445 2.2126第8列至第10列44.2423 1.7512 34.9805

我们也可以问遗传算法返回梁的最佳体积。

流(“\n ga返回的代价函数=%g\n”,fbest);
ga返回的成本函数=63196.6

添加离散非整数变量约束

工程师们现在被告知,悬臂的第二和第三步只能具有从标准设置中选择的宽度和高度。在本节中,我们将演示如何将此约束添加到优化问题中。请注意,添加此约束后,此问题与[1]中解决的问题相同。

首先,我们声明将添加到上述优化中的额外约束

  • 梁的第二和第三步的宽度必须从以下设置中选择:-[2.4,2.6,2.8,3.1]厘米

  • 梁的第二和第三级台阶的高度必须从以下设置中选择:-[45,50,55,60]厘米

为了解决这个问题,我们需要能够指定变量$x_3$$x_4$x_5美元$x_6$作为离散变量。指定组件的步骤$x_j$从集合中取离散值$S={v_1,\ldots,v_k}$,使用进行优化$x_j$取值范围为1到的整型变量k美元,并使用$ S (x_j)美元作为离散值。指定范围(1到k美元),设1为下界和k美元作为上界。

首先,我们转换离散变量的边界。每个集合有4个成员,我们将离散变量映射到[1,4]范围内的整数。因此,要将这些变量映射为整数,我们将每个变量的下界设置为1,上界设置为4。

Lb = [1 30 1 1 1 1 1 30 1 30];Ub = [5 65 4 4 4 4 5 65 5 65];

的转换(整数)版本$x_3$$x_4$x_5美元$x_6$遗传算法调用解算器。要正确计算这些函数,$x_3$$x_4$x_5美元$x_6$需要转换为这些函数中给定的离散集合中的一个元素。要了解这是如何完成的,请检查MATLAB文件悬臂体积(含圆盘)mcantileverConstraintsWithDisc.m悬臂梁

现在我们可以打电话了遗传算法解决离散变量的问题。在这种情况下x_1美元,…, x_6 $是整数。这意味着我们传递索引向量1:6遗传算法定义整型变量。

rng(0,“旋风”); [xbestDisc,fbestDisc,exitflagDisc]=ga(@悬臂体积,带圆盘,...10、[],[],[],lb, ub, @cantileverConstraintsWithDisc, 1:6, opts);
优化终止:超过了最大代数。

分析结果

xbestDisc(3:6)遗传算法作为整数(即处于转换状态)。我们需要反向转换以检索它们的工程单元中的值。

xbestDisc=悬臂映射变量(xbestDisc);显示(xbestDisc);
xbestDisc=第1列至第7列3.0000 60.0000 3.1000 55.0000 2.8000 50.0000 2.3036第8列至第10列43.6153 1.7509 35.0071

与以前一样,解决方案从遗传算法尊重约束$x_1$$x_2$都是整数。我们也可以看到$x_3$x_5美元从[2.4,2.6,2.8,3.1]厘米和$x_4$$x_6$从一套[45,50,55,60]厘米中选择。

回想一下,我们在变量上添加了额外的约束x (3)x (4)x(5)x (6).正如预期的那样,当这些变量有额外的离散约束时,最优解决方案具有更高的最小容量。进一步注意,在[1]中报告的解决方案的最小体积是厘米^ 3 64558美元我们找到了一个近似于[1]的解。

流(“\n ga返回的代价函数=%g\n”, fbestDisc);
由ga = 65226.5返回的成本函数

总结

此示例说明了如何使用遗传算法解算器,遗传算法,以解决具有整数约束的约束非线性优化问题。该示例还显示了如何处理问题公式中具有离散变量的问题。

参考文献

结构设计中的离散变量优化,P.B. Thanedar, G.N. Vanderplaats, J. Struct。Eng。,121 (3), 301-306 (1995)

相关话题