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什么是状态空间模型?

状态空间模型的定义

状态空间模型使用状态变量来描述系统的模型是一组一阶微分方程或差分方程，而不是一个或多个n阶微分方程或差分方程。状态变量x (t)可以从测量的输入输出数据中重建，但在实验过程中本身不是测量的。

状态空间模型结构是快速估计的一个很好的选择，因为它只需要指定一个输入模型秩序，n．的模型秩序整数是否等于的维数x (t)并且与相应的线性差分方程中使用的延迟输入和输出的数量有关，但不一定等于。

连续时间的表示

在连续时间中定义参数化的状态空间模型通常更容易，因为物理定律通常是用微分方程来描述的。在连续时间中，状态空间的描述形式如下:

$\begin{array}{l} \dot{x} （ t ）＝ F x （ t ） + G u （ t ） + \tilde{K} w （ t ） \\ y （ t ）＝ H x （ t ） + D u （ t ） + w （ t ） \\ x （ 0 ）＝ x 0 \end{array}$

的矩阵F，G，H,D包含具有物理意义的元素——例如，材料常数。x0指定初始状态。

请注意

$\tilde{K}$ = 0给出输出错误模型的状态空间表示。有关更多信息，请参见什么是多项式模型?．

您可以同时使用时间域和频域数据来估计连续时间状态空间模型。

离散时间表示

离散时间状态空间模型结构通常写在创新的形式用来描述噪音:

$\begin{array}{l} x （ k T + T ）＝一个 x （ k T ） + B u （ k T ） + K e （ k T ） \\ y （ k T ）＝ C x （ k T ） + D u （ k T ） + e （ k T ） \\ x （ 0 ）＝ x 0 \end{array}$

在哪里T是采样时间，u (kT)时刻的输入是即时的吗kT,y (kT)时刻输出是即时的吗kT．

请注意

K=0给出输出错误模型的状态空间表示。有关输出错误模型的更多信息，请参见什么是多项式模型?．

离散时间状态空间模型在输入和输出之间提供了与模型相同类型的线性差分关系线性ARMAX模型，但是会重新安排，使得表达式中只有一个延迟。

不能使用连续时间频域数据估计离散时间状态空间模型。

创新形式使用单一噪音源，e (kT)，而不是独立的过程和测量噪声。如果您有关于过程和测量噪声的先验知识，您可以使用线性灰盒估计来识别具有结构化独立噪声源的状态空间模型。有关更多信息，请参见识别具有分离过程和测量噪声描述的状态空间模型．

连续时间和离散时间状态矩阵之间的关系

离散状态空间矩阵之间的关系一个，B，C，D,K以及连续时间状态空间矩阵F，G，H，D, $\tilde{K}$ 为分段常数输入，如下所示:

$\begin{array}{l} 一个＝ e^{F T} \\ B ＝ \int_{0}^{T} e^{F τ} G d τ \\ C ＝ H \end{array}$

这些关系假设输入在时间间隔上是分段常数 $k T \leq t < （ k + 1 ） T$ ．

两者之间的确切关系K而且 $\tilde{K}$ 是复杂的。但是，对于较短的采样时间T，下面的近似效果很好:

$K ＝ \int_{0}^{T} e^{F τ} \tilde{K} d τ$

传递函数的状态空间表示

对于线性模型，一般模型描述为:

$y ＝ G u + H e$

G传递函数接受输入吗u到输出y．H是描述加性输出噪声模型属性的传递函数。

传递函数和离散时间状态空间矩阵由下式给出:

$\begin{array}{l} G （问）＝ C （^{问我_{n x} - 一个） - 1} B + D \\ H （问）＝ C （^{问我_{n x} - 一个） - 1} K + 我_{n y} \end{array}$

在这里,我_nx是nx——- - - - - -nx单位矩阵，和nx是状态数。我_纽约是纽约——- - - - - -纽约单位矩阵，和纽约是维数y而且e．

连续时间情况下的状态空间表示是类似的。

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