m一种一世nContent

F一世n一世teElement Method Basics

核心部分微分方程Toolbox™算法使用有限元方法（FEM）来解决2-D或3-D空间中有限域定义的问题。在大多数情况下，基本功能无法在复杂的几何形状上表达简单PDE的解决方案。金宝搏官方网站有限元方法将复杂的几何形状描述为子域的集合，通过在几何形状上产生网格。例如，您可以用三角形（2-D几何）或四面体（3-D几何形状）近似计算域ω。子域形成网格，每个顶点称为节点。下一步是使用更简单的方程式在每个子域上近似于原始的PDE问题。GydF4y2Ba

例如，考虑基本的椭圆方程。GydF4y2Ba

-GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba ÅGydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba 在域上GydF4y2Ba Ω

假设该方程是符合Dirichlet边界条件的主题GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba rGydF4y2Ba on ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba 和Neumann边界条件GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba 。这里，，，，GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω =GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba ∪GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba 是ω的边界。GydF4y2Ba

FEM的第一步是转换原始差异（GydF4y2Ba强的GydF4y2Ba）PDE形式为积分（GydF4y2Ba虚弱的GydF4y2Ba）通过乘以测试功能形式GydF4y2Ba vGydF4y2Ba 并集成在域ω上。GydF4y2Ba

∫GydF4y2Ba Ω （（GydF4y2Ba -GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba ·GydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba -GydF4y2Ba FGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω =GydF4y2Ba 0GydF4y2Ba ∀GydF4y2Ba vGydF4y2Ba

The test functions are chosen from a collection of functions (functional space) that vanish on the Dirichlet portion of the boundary, vGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 0GydF4y2Ba on ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba 。可以将上述方程式视为使用所有可能的加权函数的加权平均值平均GydF4y2Ba vGydF4y2Ba 。The collection of functions that are admissible solutions,你GydF4y2Ba，选择了PDE的弱形式，以便满足Dirichlet BC，GydF4y2Ba你GydF4y2Ba=GydF4y2BarGydF4y2Baon ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba 。GydF4y2Ba

Integrating by parts (Green’s formula) the second-order term results in:

∫GydF4y2Ba Ω （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba vGydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba vGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω -GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba nGydF4y2Ba → ·GydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba nGydF4y2Ba → ·GydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba =GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba Ω FGydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω ∀GydF4y2Ba vGydF4y2Ba

使用Neumann边界条件在公式的左侧代替第二任期。另外，请注意GydF4y2Ba vGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 0GydF4y2Ba on ∂GydF4y2Ba Ω dGydF4y2Ba 无效第三学期。结果方程是：GydF4y2Ba

∫GydF4y2Ba Ω （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba vGydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba vGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω +GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba 问GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba =GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba GGydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba Ω FGydF4y2Ba vGydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω ∀GydF4y2Ba vGydF4y2Ba

请注意，直到这个阶段的所有操作均在问题的全局域Continuumω上执行。因此，可接受的功能和试验功能的收集涵盖了无限二维功能空间。下一步是通过将ω细分为较小的子域或元素来离散弱形式GydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba ， 在哪里GydF4y2Ba Ω =GydF4y2Ba ∪GydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba 。This step is equivalent to projection of the weak form of PDEs onto a finite-dimensional subspace. Using the notations 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba 一种ndGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba 表示在定义的可接受和试验功能的有限维相当于GydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba ，，，，you can write the discretized weak form of the PDE as:

∫GydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba eGydF4y2Ba 问GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba eGydF4y2Ba =GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba eGydF4y2Ba GGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba Ω nGydF4y2Ba eGydF4y2Ba +GydF4y2Ba ∫GydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba FGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba dGydF4y2Ba Ω eGydF4y2Ba ∀GydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba

neXt，，，，letϕ一世GydF4y2Ba， 和GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=1，，，，2，，，，。。。，，，，GydF4y2BanGydF4y2BapGydF4y2Ba，成为包含集合的子空间的分段多项式函数GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba 一种ndGydF4y2Ba vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba ，，，，tHen一种ny particular 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba C一种nbe expressed as a linear combination of basis functions:

你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba =GydF4y2Ba ∑GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba nGydF4y2Ba pGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba 一世GydF4y2Ba ϕ 一世GydF4y2Ba

这里GydF4y2Ba你GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba尚未确定的标量系数。代替GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba 一世nto to the discretized weak form of PDE and using each vGydF4y2Ba HGydF4y2Ba =GydF4y2Ba φ 一世GydF4y2Ba 随着测试功能和对元素的进行集成，会产生GydF4y2BanGydF4y2BapGydF4y2Ba方程式GydF4y2BanGydF4y2BapGydF4y2Ba未知GydF4y2Ba你GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

请注意，有限元方法通过最小化关联的误差函数来近似解决方案。最小化过程会自动找到最接近解决方案的基础函数的线性组合GydF4y2Ba你GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

FEM yields a systemk你GydF4y2Ba=GydF4y2BaFGydF4y2Ba矩阵的位置GydF4y2BakGydF4y2Ba和右侧GydF4y2BaFGydF4y2Ba在测试功能方面包含积分GydF4y2Baϕ一世GydF4y2Ba，，，，GydF4y2BaϕjGydF4y2Ba，，，，一种ndtHeCoefficientsCGydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba一种GydF4y2Ba，，，，GydF4y2BaFGydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba问GydF4y2Ba，，，，一种ndGydF4y2BaGGydF4y2BadeF一世n一世nGtHeproblem. The solution vector你GydF4y2BaContains the expansion coefficients of你GydF4y2BaHGydF4y2Ba，也是GydF4y2Ba你GydF4y2BaHGydF4y2Ba一种te一种CHnodeXGydF4y2BakGydF4y2Ba（（GydF4y2BakGydF4y2Ba= 1,2对于2-D问题或GydF4y2BakGydF4y2Ba=1，，，，2，，，，3 for a 3-D problem) since你GydF4y2BaHGydF4y2Ba（（GydF4y2BaXGydF4y2BakGydF4y2Ba）=GydF4y2Ba你GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

FEM techniques are also used to solve more general problems, such as:

  • 时间依赖的问题。解决方案GydF4y2Ba你GydF4y2Ba（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BatGydF4y2Ba）等式GydF4y2Ba

    dGydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ∂GydF4y2Ba tGydF4y2Ba -GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba ÅGydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba

    C一种nbe approximated by

    你GydF4y2Ba HGydF4y2Ba （（GydF4y2Ba XGydF4y2Ba ，，，，GydF4y2Ba tGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba ∑GydF4y2Ba 一世GydF4y2Ba =GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba nGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba 一世GydF4y2Ba （（GydF4y2Ba tGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ϕ 一世GydF4y2Ba （（GydF4y2Ba XGydF4y2Ba ）GydF4y2Ba

    结果是一个普通微分方程（ODE）的系统GydF4y2Ba

    mGydF4y2Ba dGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba dGydF4y2Ba tGydF4y2Ba +GydF4y2Ba kGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba

    两次导数导致二阶颂歌GydF4y2Ba

    mGydF4y2Ba dGydF4y2Ba 2GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba dGydF4y2Ba tGydF4y2Ba 2GydF4y2Ba +GydF4y2Ba kGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba

  • 特征值问题。解决GydF4y2Ba

    -GydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba ÅGydF4y2Ba （（GydF4y2Ba CGydF4y2Ba ∇GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba 一种GydF4y2Ba 你GydF4y2Ba =GydF4y2Ba λ dGydF4y2Ba 你GydF4y2Ba

    对于未知数GydF4y2Ba你GydF4y2Ba一种ndGydF4y2Baλ， 在哪里GydF4y2Baλ是一个复杂的数字。使用FEM离散化，您可以解决代数特征值问题GydF4y2Bak你GydF4y2Ba=GydF4y2Baλm你GydF4y2Bato find你GydF4y2BaHGydF4y2Ba一种s an approximation to你GydF4y2Ba。要解决特征值问题，请使用GydF4y2BasolvepdeeigGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

  • nonlinear problems. If the coefficientsCGydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba一种GydF4y2Ba，，，，GydF4y2BaFGydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba问GydF4y2Ba， 或者GydF4y2BaGGydF4y2Ba是功能GydF4y2Ba你GydF4y2Ba或∇GydF4y2Ba你GydF4y2Ba，PDE称为非线性，FEM产生非线性系统GydF4y2BakGydF4y2Ba（（GydF4y2Ba你GydF4y2Ba）GydF4y2Ba你GydF4y2Ba=GydF4y2BaFGydF4y2Ba（（GydF4y2Ba你GydF4y2Ba）GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

To summarize, the FEM approach:

  1. 代表问题的原始领域作为元素集合。GydF4y2Ba

  2. For each element, substitutes the original PDE problem by a set of simple equations that locally approximate the original equations. Applies boundary conditions for boundaries of each element. For stationary linear problems where the coefficients do not depend on the solution or its gradient, the result is a linear system of equations. For stationary problems where the coefficients depend on the solution or its gradient, the result is a system of nonlinear equations. For time-dependent problems, the result is a set of ODEs.

  3. Assembles the resulting equations and boundary conditions into a global system of equations that models the entire problem.

  4. 分别使用线性求解器或数值集成求解代数方程或ODE的系统系统。该工具箱内部调用适当的MATLABGydF4y2Ba®GydF4y2Ba解决此任务的求解器。GydF4y2Ba

References

[1] Cook, Robert D., David S. Malkus, and Michael E. Plesha.Concepts and Applications of Finite Element Analysis。第三版。纽约，纽约：约翰·威利（John Wiley＆Sons），1989年。GydF4y2Ba

[2] Gilbert Strang and George Fix.An Analysis of the Finite Element Method。2nded一世t一世on. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 2008.

也可以看看GydF4y2Ba

|GydF4y2Ba|GydF4y2Ba