夹紧梁的动力分析

打开实时脚本

本算例介绍了在两端夹紧的均压荷载作用下梁的动力特性分析。

本例使用英制单位制。如果您将它们替换为公制系统中指定的值，请确保使用相同的系统指定所有值。

在这个例子中，压力负荷在等于零的时间突然施加。压力量级足够高，可以产生与梁厚度相同的偏转。准确预测这种类型的行为需要几何非线性弹性方程。本算例采用弹性方程的线性和非线性公式求解了夹紧梁弹性问题。

处理大挠度的一种方法是考虑变形位置的弹性方程。但是，工具箱使用基于原始几何图形的方程。因此，你必须使用非线性弹性的拉格朗日公式，其中应力、应变和坐标指的是原始几何。平衡方程的拉格朗日公式是

$ρ u_{}^{¨} - \nabla \cdot （ F \cdot 年代）＝ f$

在哪里 $ρ$ 是物质密度， $u$ 是位移矢量， $F$ 为变形梯度， $年代$ 为第二皮奥拉-基尔霍夫应力张量， $f$ 是物体的力向量。你也可以把这个方程写成张量形式:

$ρ {u_{}^{¨}}_{我} - \frac{\partial}{\partial x_{j}} （（ \frac{\partial u_{我}}{\partial x_{k}} + δ_{我 k} ） {年代}_{k j} ）＝ f_{我}$

虽然这个公式说明大的挠度，它假设应变保持小，因此线弹性本构关系适用。对于二维平面应力情况，可以将本构关系写成矩阵形式:

$｛ \begin{array}{c} {年代}_{11} \\ {年代}_{22} \\ {年代}_{12} \end{array} ｝＝［ \begin{array}{ccc} C_{11} & C_{12} \\ C_{12} & C_{22} \\ 2 G_{12} \end{array} ］｛ \begin{array}{c} E_{11} \\ E_{22} \\ E_{12} \end{array} ｝$

$E_{我 j}$ 为格林-拉格朗日应变张量:

$E_{我 j} ＝ \frac{1}{2} （ \frac{\partial u_{我}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{我}} + \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{我}} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}} ）$

对于各向同性材料:

$C_{11} ＝ C_{22} ＝ \frac{E}{1 - ν^{2}}$

$C_{12} ＝ \frac{E ν}{1 - ν^{2}}$

$G_{12} ＝ \frac{E}{2 （ 1 + ν ）}$

在哪里 $E$ 是杨氏模量， $ν$ 为泊松比。有关非线性弹性的拉格朗日公式的更多细节，请参见[1]．

这些方程完全定义了几何非线性平面应力问题。本例使用符号数学工具箱™以偏微分方程工具箱™要求的形式定义c系数。c系数是一个函数cCoefficientLagrangePlaneStress．你可以使用它与任何几何非线性平面应力分析的模型，由各向同性材料。你可以在下面找到它matlab / R20XXx / / pde的主要例子．

线性的解决方案

为两个方程的系统创建PDE模型。

模型= createpde(2);

创建以下光束几何图形。

指定梁的长度和厚度。

长度= 5;%光束长度，in高度= 0.1;%梁的厚度，in

由于梁的几何形状和荷载是关于梁中心对称的，您可以通过只考虑梁的右半部分来简化模型。

L2 =长度/2;H2 = height/2;

创建代表梁的矩形的边。

Rect = [3 4 0 l2 l2 0 -h2 -h2 h2]';G = decsg(rect，R1的，（R1的)');

从边缘创建几何图形，并将其包含在模型中。

pg = geometryFromEdges(模型，g);

用边缘标签绘制几何图形。

图pdegplot (g,“EdgeLabels”，“上”((-)轴。11．1*l2 -5*h2 5*h2])

图中包含一个轴对象。axis对象包含5个类型为line, text的对象。

利用材料性质推导方程系数。对于线性情况，c系数矩阵是常数。

E = 3.0e7;%材料的杨氏模量，磅/in^2Gnu = 0.3;材料的泊松比Rho = 0.3/386;%材料的密度G = e /(2。*(1 + gnu));mu = 2*G*gnu/(1 - gnu);c = [2*G + mu;0;G;0;G;μ;0; G; 0; 2*G + mu]; f = [0 0]';%无身体力量specifyCoefficients(模型,“m”ρ,“d”0,“c”c“一个”0,“f”f);

应用边界条件。从对称条件来看，x-位移在左边缘等于零。

symBC =应用边界条件(模型，“混合”，.．.“边缘”4.．.“u”0,.．.“EquationIndex”1);

因为横梁被夹住了，所以x- - -y-位移等于零沿右边缘。

clampedBC =应用边界条件(模型，“边界条件”，.．.“边缘”2,.．.“u”[0 0]);

沿着顶部边缘施加恒定的垂直应力。

Sigma = 2e2;presBC =应用边界条件(模型，“纽曼”，“边缘”3,“g”σ[0]);

初始位移和速度设为零。

setInitialConditions(模型中,0,0);

生成一个网格。

generateMesh(模型);

求解模型。

Tlist = linspace(0,3e-3,100);Result = solvepde(model,tlist);

的几何中心插值解y-component(组件2)在所有解决时间。

Xc = 1.25;Yc = 0;u4Linear = interpolateSolution(结果，xc,yc,2,1:长度(tlist));

非线性的解决方案

指定非线性情况下的系数。的cCoefficientLagrangePlaneStress函数采用各向同性材料的性质、位置和状态结构，并返回一个c矩阵，用于非线性平面应力分析。它假设应变很小，即E和 $ν$ 与解无关。

c = @(位置，状态)c = @(位置，状态).．.位置、状态);specifyCoefficients(模型,“m”ρ,“d”0,“c”c“一个”0,“f”f);

求解模型。

Result = solvepde(model,tlist);

的几何中心插值解y-component(组件2)在所有解决时间。

u4非线性=插值(结果，xc,yc,2,1:长度(tlist));

解决方案图

画出y-梁中心的挠度作为时间的函数。非线性分析产生的位移比线性分析小得多。这种“应力加强”效应也导致了非线性分析中较高的振荡频率。

图plot(tlist,u4Linear(:)，tlist, u4非线性(:))“线性”，“非线性”)标题(“梁中心偏转”)包含(“时间,秒”) ylabel (“偏转,英寸”网格)在

图中包含一个轴对象。标题为“梁中心偏转”的轴对象包含2个类型为line的对象。这些对象代表线性，非线性。

参考文献

劳伦斯·莫尔文。连续介质力学概论“，”普伦蒂斯霍尔系列物理科学工程。恩格尔伍德悬崖，新泽西州:Prentice-Hall, 1969年。