极小曲面问题

这个例子展示了如何解决极小曲面方程

在单位圆 $\Omega =\left\{\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)|{\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2\le 1\right\}$, $\mathit{u}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$在边界上 $\partial \Omega$。工具箱中的一个椭圆方程形式

$-\; -\; -\; -\; -\; -\nabla \cdot \left(\mathit{c}\nabla \mathit{u}\right)+\mathit{非盟}=\mathit{f}$。

因此,对于极小曲面问题,系数:

$\mathit{c}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left|\nabla \mathit{u}\right|}^2}},\mathit{一个}=0,\mathit{f}=0$。

因为系数c是一个函数的解决方案吗u,极小曲面问题是一个非线性椭圆问题。

解决极小曲面问题使用程序化的工作流程,首先创建一个PDE模型与一个因变量。

模型= createpde;

创建几何和包括在模型中。的circleg表示该几何函数。

geometryFromEdges(模型、@circleg);

情节的几何边缘标签。

pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”)轴平等的标题(“与标签边缘几何”)

指定系数。

= 0;f = 0;cCoef = @(地区、州)1. /√(1 + state.ux。^ 2 + state.uy。^ 2);specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”0,“c”cCoef,“一个”一个,“f”f);

指定使用函数的边界条件 $\mathit{u}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$。

bcMatrix = @(地区,~)region.x。^ 2;applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”,…“边缘”1:model.Geometry.NumEdges,…“u”,bcMatrix);

网格生成和阴谋。

generateMesh(模型,“Hmax”,0.1);图;pdemesh(模型);轴平等的

为未来的情节清晰的图。

clf

通过使用解决问题solvepde函数。因为问题是非线性的,solvepde调用一个非线性规划求解。通过设置观察解决进展SolverOptions.ReportStatistics属性模型的在“。

model.SolverOptions。ReportStatistics =“上”;结果= solvepde(模型);

雅可比矩阵迭代剩余步长:全0 2.8746 1.8542 e-02 1 e-04 e-06 1.0000000 1.2184 1.0000000 - 2

u = result.NodalSolution;

策划解决方案通过使用可视化PDE的结果住编辑任务。首先,创建一个新的脚本通过单击生活新的生活的脚本按钮文件上节家选项卡。

在住编辑器选项卡上,选择任务>可视化PDE的结果。这一行动将任务插入脚本。

策划解决方案,遵循这些步骤。

你也可以画出解决方案在MATLAB®命令行通过使用pdeplot函数。例如,情节的解决方案作为一个3 d的阴谋,阴谋使用解决方案值高度。

图;pdeplot(模型,“XYData”u“ZData”u);包含xylabelyzlabelu (x, y)标题(“极小曲面”)colormap飞机