MIMO稳健性分析

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您可以创建和分析由不确定状态空间矩阵组成的不确定状态空间模型。在本例中，创建一个具有参数不确定性的MIMO系统，并分析其鲁棒稳定性和最差情况性能。

考虑一个双输入、双输出、双状态系统，其模型在状态空间矩阵中具有参数不确定性。首先创建一个不确定参数p．利用参数，使不确定一个而且C矩阵。的B矩阵碰巧不是不确定的，尽管稍后您将在模型中添加频域输入不确定性。

P = ureal(“p”10“比例”10);A = [0 p;-p 0];B =眼睛(2);C = [1 p;-p 1];H = ss(A,B,C，[0 0;0 0])

H = 2输出2输入2状态的不确定连续时间状态空间模型。模型的不确定性由以下块组成:p:不确定的真实，名义= 10，可变性=[-10,10]%，2次出现输入“H. nominalvalue”查看名义值，“get(H)”查看所有属性，“H. uncertainty”与不确定元素相互作用。

可以看到不确定系统的性质H使用得到命令。

得到(H)

NominalValue: [2x2 ss] Uncertainty: [1x1 struct] A: [2x2 umat] B: [2x2 double] C: [2x2 umat] D: [2x2 double] E: [] StateName: {2x1 cell} StateUnit: {2x1 cell} InternalDelay: [0x1 double] InputDelay: [2x1 double] InputName: {2x1 cell} InputUnit: {2x1 cell} InputGroup: [1x1 struct] OutputName: {2x1 cell} OutputUnit: {2x1 cell} OutputGroup: [1x1 struct]备注:[0x1 string] UserData: [] Name: " Ts: 0 TimeUnit: 'seconds' SamplingGrid: [1x1 struct]

的相应属性的行为方式与大多数属性相同党卫军对象。房地产NominalValue本身就是党卫军对象。

为每个通道增加独立输入不确定性

的模型H不包括执行器动力学。换句话说，执行器模型是所有频率的单位增益。

尽管如此，通道1的执行器的行为在低频下是适度不确定的(比如10%)，超过20 rad/s的高频行为无法精确建模。类似的陈述适用于通道2中的执行器，在低频(例如20%)具有较大的适度不确定性，但精度可达45 rad/s。

使用ultidyn对象Delta1而且Delta2还有塑形过滤器W1而且W2将这种形式的频域不确定性添加到模型中。

W1 = makeweight(.1,20,50);W2 = makeweight(.2,45,50);Delta1 = ultidyn(“Delta1”[1]);Delta2 = ultidyn(“Delta2”[1]);G = H*blkdiag(1+W1* delta1,1 +W2*Delta2)

G = 2输出2输入4状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下块组成:Delta1:不确定1x1 LTI，峰值增益= 1,1次出现Delta2:不确定1x1 LTI，峰值增益= 1,1次出现p:不确定实值，名义值= 10，变动性=[-10,10]%，2次出现输入“G. nominalvalue”查看名义值，“get(G)”查看所有属性，“G. uncertainty”与不确定元素相互作用。

请注意,G是一个两输入，两输出的不确定系统，依赖于三个不确定元素，Delta1，Delta2,p．它有四个状态，两个来自H从塑形过滤器中各取一个W1而且W2，它们被嵌入G．

你可以画出几个样本的2秒步响应G自然频率中10%的不确定性是显而易见的。

stepplot (G, 2)

图中包含4个轴对象。轴对象1，标题From: In(1)包含21个类型为line的对象。该对象表示G. Axes对象2包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象3，标题为From: In(2)包含21个类型为line的对象。该对象表示G. Axes对象4包含21个line类型的对象。这个对象表示G。

你可以创建一个样本的波德图G．模型中的高频不确定性也很明显。为了清晰起见，从共振之外的波德图开始。

bodeplot (G, {100})

图中包含8个轴对象。轴对象1，标题From: In(1)包含21个类型为line的对象。该对象表示G. Axes对象2包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象3包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象4包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象5，标题为From: In(2)包含21个类型为line的对象。该对象表示G. Axes对象6包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象7包含21个line类型的对象。该对象表示G. Axes对象8包含21个line类型的对象。这个对象表示G。

闭环稳健性分析

加载控制器并验证它是双输入双输出的。

负载(“mimoKexample.mat”)大小(K)

具有2个输出、2个输入和9个状态的状态空间模型。

您可以使用该命令loopsens形成所有标准的设备/控制器反馈配置，包括输入和输出的灵敏度和互补灵敏度。因为G是不确定的，所有的闭环系统也是不确定的。

F = loopsens(G,K)

F =带字段的结构:Si: [2x2 uss] Ti: [2x2 uss] Li: [2x2 uss] So: [2x2 uss] To: [2x2 uss] Lo: [2x2 uss] PSi: [2x2 uss] CSo: [2x2 uss]极点:[13x1双]稳定:1

F是一个具有许多字段的结构。标称闭环系统的极点在F.Poles,F.Stable如果标称闭环系统稳定，则为1。在剩下的10个字段中，年代代表敏感，T或互补灵敏度，和l开环增益。的后缀我而且o指的是工厂的投入和产出。最后,P而且C参考设备和控制器。

因此,“透明国际”在数学上等同于:

$K （我 + G K)^{- 1} G$

罗是G * K,方案数学上是一样的吗

$K （我 + G K)^{- 1}$

通过绘制的响应图，检查扰动在设备输入到设备输出的传输F.PSi．在标称曲线上画出一些样本。

bodemag (F.PSi.NominalValue' r + 'F。P年代我，“b -”{1 e 1 100})

图中包含4个轴对象。轴对象1 From: du(1)包含22个类型为line的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。Axes对象2包含22个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。轴对象3，标题From: du(2)包含22个类型为line的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。Axes对象4包含22个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。

名义稳定裕度

你可以使用allmargin研究环路一次增益和相位裕度，以及diskmargin对于一次循环的基于磁盘的裕度和同时的多变量裕度。边际是为名义系统计算的，不反映其中的不确定性模型G．

例如，在工厂输出和输入中，探索基于磁盘的增益或相位变化的边际。(有关基于磁盘的保证金分析的一般信息，请参见利用盘边距进行稳定性分析．)

[DMo,MMo] = diskmargin(G*K);[DMi,MMi] = diskmargin(K*G);

在结构数组中返回一次循环的边距DMo而且DMi．每个数组都为两个反馈通道各包含一个条目。例如，检查工厂输出的第二个反馈通道的裕度。

DMo (2)

ans =带字段的结构:GainMargin: [0.0682 14.6726] PhaseMargin: [-82.2022 82.2022] DiskMargin: 1.7448 LowerBound: 1.7448 UpperBound: 1.7448 Frequency: 4.8400最差扰动:[2x2 ss]

这个结果告诉你，第二个循环输出的增益可以在0.07到14.7之间变化，而第二个循环不会不稳定。类似地，该回路在输出端可以容忍高达±82°的相位变化。

的结构MMo而且MMi包含两个通道中并发和独立变化的裕度。例如，检查工厂输入端的多回路边缘。

MMi

MMi =带字段的结构:GainMargin: [0.1186 8.4289] PhaseMargin: [-76.4682 76.4682] DiskMargin: 1.5758 LowerBound: 1.5758 UpperBound: 1.5790 Frequency: 5.9828最差扰动:[2x2 ss]

这个结果告诉你，在两个通道中，设备输入的增益可以独立地变化，变化的因子约为1/8到8，而闭环系统不会变得不稳定。该系统可以容忍独立和并发相位变化约±76°。因为多循环裕度考虑了循环交互，所以它们往往比一次循环裕度要小。

检查装置输出的多回路边缘。

MMo

MMo =带字段的结构:GainMargin: [0.1201 8.3280] PhaseMargin: [-76.3058 76.3058] DiskMargin: 1.5712 LowerBound: 1.5712 UpperBound: 1.5744 Frequency: 17.4276最差扰动:[2x2 ss]

工厂产出的利润与投入的利润相似。这个结果在多回路反馈系统中并不总是正确的。

最后，检查工厂投入和产出同时变化的边际。

MMio = diskmargin(G,K)

MMio =带字段的结构:GainMargin: [0.5676 1.7619] PhaseMargin: [-30.8440 30.8440] DiskMargin: 0.5517 LowerBound: 0.5517 UpperBound: 0.5528 Frequency: 9.0688最差的扰动:[1x1 struct]

当同时考虑所有这些变化时，边际比单独考虑输入或输出时的边际要小一些。尽管如此，这些数字表明了一个总体上稳健的闭环系统。该系统可以容忍显著的同时增益变化或±30°度同步相位变化在所有输入和输出通道的装置。

鲁棒稳定裕量

与diskmargin，确定标称多回路系统的各种稳定裕度。这些裕度仅为名义系统计算，不反映由模型明确建模的不确定性尿素的而且ultidyn对象。当您使用详细的不确定性模型时，稳定裕度由diskmargin可能不能准确反映系统离不稳定有多近。然后你可以使用robstab为指定的不确定度计算鲁棒稳定裕度。

在本例中，使用robstab计算不确定反馈回路的鲁棒稳定裕度G而且K．你可以使用任何闭环传递函数F = loopsens(G,K)．所有这些，F.Si, F.To等具有相同的内部动力学，因此它们的稳定性质是相同的。

opt = robOptions(“显示”，“上”）;stabmarg = robstab(F.So,opt)

计算峰……完成百分比:100/100系统对于建模的不确定性是鲁棒稳定的。-它可以容忍高达221%的建模不确定性。—有一个不稳定扰动，相当于模型不确定性的222%。——这种扰动导致频率为13.6 rad/秒的不稳定。

stabmarg =带字段的结构:LowerBound: 2.2129 UpperBound: 2.2173 CriticalFrequency: 13.6331

这一分析证实了diskmargin分析建议。闭环系统在稳定性方面对不确定参数所模拟的变化具有较强的鲁棒性Delta1，Delta2,p．事实上，该系统可以在不失去闭环稳定性的情况下，承受两倍以上的建模不确定性。

最坏情况增益分析

您可以绘制标称输出灵敏度函数的波德幅度。它清楚地显示出在低频下所有信道都有良好的干扰抑制。

bodemag (F.So。NominalValue，{1e-1 100})

图中包含4个轴对象。轴对象1 From: dy(1)包含一个line类型的对象。该对象表示untitled1。坐标轴对象2包含一个line类型的对象。该对象表示untitled1。轴对象3的标题From: dy(2)包含一个类型为line的对象。该对象表示untitled1。Axes对象4包含一个line类型的对象。该对象表示untitled1。

你可以计算频响矩阵的最大奇异值的峰值规范．

[PeakNom,freq] = getPeakGain(F.So.NominalValue)

PeakNom = 1.1317

频率= 7.1300

峰值约为1.13。当不确定元素时，获得的最大输出灵敏度增益是多少Delta1，Delta2,p改变它们的范围?你可以使用wcgain为了回答这个问题。

[maxgain,wcu] = wcgain(F.So);maxgain

maxgain =带字段的结构:LowerBound: 2.1599 UpperBound: 2.1643 CriticalFrequency: 8.3357

分析表明，最坏情况下的增益在2.1到2.2之间。达到峰值的频率约为8.5。

使用usubs替换的值Delta1，Delta2,p达到2.1的增益。在输出时进行替换，使灵敏度互补，并做阶跃响应。

步骤(F.To.NominalValue usubs (F.To wcu), 5)

图中包含4个轴对象。轴对象1 From: dy(1)包含2个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。坐标轴对象2包含2个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。轴对象3的标题From: dy(2)包含2个类型为line的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。Axes对象4包含2个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。

在输出灵敏度放大方面，扰动响应是不确定值的最差组合，它没有显示出命令响应的显著退化。沉降时间增加了约50%，从2增加到4，非对角耦合增加了约2倍，但仍然很小。

您还可以使用标称和采样系统来检查最坏情况的频率响应wcsigmaplot．

wcsigmaplot (F.To {1 e - 1100})

图中包含一个轴对象。axis对象包含48个line类型的对象。这些对象代表采样不确定性，名义，最坏扰动，最坏增益(下界)，最坏增益(上界)。

另请参阅