鲁棒稳定性、鲁棒性能与Mu分析

打开实时脚本

这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™来分析和量化反馈控制系统的鲁棒性。它还提供了与mu分析和mussv函数。

系统描述

闭环系统框图如图1所示。植物模型 $P$ 是否与工厂产量不确定 $y$ 在存在干扰的情况下，必须被监管以保持规模 $d$ 测量噪声 $n$ ．

图1:闭环系统的鲁棒性分析

通过性能目标对干扰抑制和噪声不灵敏度进行量化

${为（ P （ 1 + K P ）^{- 1} W_{d} ，（ 1 + P K ）^{- 1} W_{n} ）为}_{\infty}$

在哪里 $W_{d}$ 而且 $W_{n}$ 加权函数是否反映的频率含量 $d$ 而且 $n$ ．在这里 $W_{d}$ 在低频是大的 $W_{n}$ 在高频处很大。

Wd = makeweight(100，.4，.15);Wn = makeweight(0.5,20,100);bodemag (Wd,“b——”Wn,“g——”)标题(“绩效加权函数”)传说(输入扰动的，测量噪声的）

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。这些对象代表输入干扰、测量噪声。

创建一个不确定的植物模型

不确定的植物模型P是一个轻阻尼，二阶系统的参数不确定性在分母系数和显著的频率依赖未建模的动态超过6 rad/s。数学模型如下:

$P （年代）＝ \frac{16}{{年代}^{2} + 0 ． 16 年代 + k} （ 1 + W_{u} （年代） δ （年代））$

的参数k假设不确定性约为40%，标称值为16。频率相关的不确定性假设在低频时约为30%，在10 rad/s时上升到100%，超过这个值更大。构造不确定植物模型P通过创造和组合不确定元素:

K = ureal(“k”, 16岁,“比例”, 30);Delta = ultidyn(“δ”[1],“SampleStateDim”4);Wu = makeweight(0.3,10,20);P = tf(16，[1 0.16 k]) * (1+Wu*delta);

设计控制器

我们使用了“在保持开环特性的同时提高稳定性”示例中设计的控制器。这里使用的植物模型恰好是上面创建的不确定植物模型的名义值。为了完整起见，我们重复用于生成控制器的命令。

K_PI = pid(1,0.8);K_rolloff = tf(1，[1/20 1]);Kprop = K_PI*K_rolloff;[negK，~，Gamma] = ncfsyn(P.NominalValue，-Kprop);K = -negK;

结束循环

使用连接建立图1闭环系统的不确定模型。说出进出每个街区的信号，并让连接接线:

P.u =“了”；P.y =“yP”；K.u =“英国”；梁龙骥=“即”；S1 = sumblk('uP = yK + D'）;S2 = sumblk('uK = - yp - N'）;Wn。u =“n”；Wn。y =“N”；Wd。u =' d '；Wd。y =' D '；ClosedLoop = connect(P,K,S1,S2,Wn,Wd，{' d '，“n”}，“yP”）;

的变量闭环是一个有两个输入和一个输出的不确定系统。它取决于两个不确定元素:一个实参数k一个不确定的线性定常动态元素δ．

闭环

ClosedLoop =不确定连续时间状态空间模型，具有1个输出，2个输入，11个状态。模型不确定性由以下块组成:delta:不确定的1x1 LTI，峰值增益= 1,1次出现k:不确定的真实，标称= 16，可变性=[-30,30]%，1次出现Type "ClosedLoop。“NominalValue”查看标称值，“get(ClosedLoop)”查看所有属性，以及“ClosedLoop. properties”。不确定性”与不确定元素相互作用。

鲁棒稳定性分析

经典的边缘allmargin对环路内非结构增益/相位变化具有良好的稳定性和鲁棒性。

allmargin (P.NominalValue * K)

ans =带字段的结构:GainMargin: [6.2984 10.9082] GMFrequency: [1.6108 15.0285] PhaseMargin: [79.9812 -99.6214 63.7590] PMFrequency: [0.4467 3.1469 5.2304] DelayMargin: [3.1253 1.4441 0.2128] DMFrequency: [0.4467 3.1469 5.2304] Stable: 1

的所有值，闭环系统是否保持稳定k，δ在上面指定的范围内?回答这个问题需要使用更复杂的分析robstab函数。

[stabmarg,wcu] = robstab(ClosedLoop);stabmarg

stabmarg =带字段的结构:LowerBound: 1.4668 UpperBound: 1.4697 CriticalFrequency: 5.8933

的变量stabmarg对象的上下界鲁棒稳定裕度，一种衡量不确定性的方法k，δ反馈回路在变得不稳定之前可以容忍。例如，0.8的裕度表明只要达到指定的不确定性水平的80%就会导致不稳定。这里的裕度约为1.5，这意味着闭环将在指定不确定性的150%的情况下保持稳定。

的变量wcu包含以下组合k而且δ最接近它们的名义价值，导致不稳定。

wcu

wcu =带字段的结构:Delta: [1x1 ss] k: 23.0548

我们可以把这些值代入闭环并验证这些值是否导致闭环系统不稳定。

格式短e极(usubs(闭环,wcu))

ans =15×1复杂-1.2591e+03 + 0.0000e+00i -2.4785e+ 02 + 0.0000e+00i -8.2633e+00 + 1.1488e+01i -8.2633e+00 - 1.1488e+01i -1.9994e -1.5277e-13 + 5.8933e+00i -1.5277e-13 - 5.8933e+00i -3.2901e+00 + 0.0000e+00i -1.5907e+00 + 2.3468e+00i

注意，不稳定闭环极点的固有频率由stabmarg。CriticalFrequency：

stabmarg。CriticalFrequency

Ans = 5.8933e+00

与Mu分析的联系

结构化的奇异值，或 $μ$ 的数学工具robstab计算鲁棒稳定裕度。如果您熟悉结构化奇异值分析，可以使用mussv函数直接计算mu作为频率的函数，并再现上述结果。这个函数mussv是所有健壮性分析命令的底层引擎。

使用mussv，我们首先提取(δM)不确定闭环模型的分解闭环,在那里δ是不确定元素(归一化)的块对角矩阵。的第三个输出参数lftdata，BlkStruct的块对角线结构δ并可直接由mussv

[M,Delta,BlkStruct] = lftdata(ClosedLoop);

对于鲁棒稳定性分析，只有通道米与不确定度相关联的通道被使用。的行/列大小δ，选择适当的列和行米．记住这一行δ对应于的列米，反之亦然。的列维数δ用于指定米：

szDelta = size(Delta);M11 = M(1:szDelta(2)，1:szDelta(1));

在最简单的形式中，mu-分析是在有限的频率网格上进行的。选择一个对数间隔的频率点向量，并评估的频率响应M11公路在这个频率网格上。

= logspace(-1,2,50);M11_g = frd(M11， ω);

计算μ(M11公路)在这些频率并绘制出结果的上下限:

mubds = mussv(M11_g,BlkStruct，“年代”）;LinMagopt = bodeoptions;LinMagopt。PhaseVisible =“关闭”；LinMagopt。XLim = [1e-1 1e2];LinMagopt。MagUnits =“abs”；bodeplot (mubnds (1, 1), mubnds(1、2),LinMagopt);包含(的频率(rad /秒)）;ylabel (上/下界）;标题(鲁棒稳定裕度图(倒尺度)）;

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。

图3:鲁棒稳定边界Mu图(倒尺度)

鲁棒稳定裕度为结构奇异值的倒数。因此，从mussv成为稳定裕度的下界。进行这些转换，找到mu上限峰值处的不稳定频率(即稳定裕度最小的地方):

[pkl,wPeakLow] = getPeakGain(mubnds(1,2));[pku] = getPeakGain(mubnds(1,1));SMfromMU。LowerBound = 1/pku;SMfromMU。UpperBound = 1/pkl;SMfromMU。临界频率= wPeakLow;

比较SMfromMU到边界stabmarg计算与robstab．这些数值大致吻合robstab利润率略低。这是因为robstab采用了一种比频率网格更复杂的方法，可以准确计算的峰值μ在频率。

stabmarg

stabmarg =带字段的结构:LowerBound: 1.4668e+00 UpperBound: 1.4697e+00 CriticalFrequency: 5.8933e+00

SMfromMU

SMfromMU =带字段的结构:LowerBound: 1.4735e+00 UpperBound: 1.4735e+00 CriticalFrequency: 5.9636e+00

稳健性能分析

求不确定元素的标称值k而且δ，闭环增益小于1:

getPeakGain (ClosedLoop.NominalValue)

Ans = 9.8137e-01

这说明控制器K满足干扰抑制和噪声不敏感的目标。但是，面对建模的不确定性，这种名义上的性能能够保持吗?这个问题最好的答案是robgain．

opt = robOptions(“显示”，“上”）;[perfmarg,wcu] = robgain(ClosedLoop,1,opt);

计算峰……完成百分比:100/100性能等级1对建模的不确定性不是稳健的。—在38.6%的建模不确定性中，增益保持在1以下。—有一个严重的扰动，占模型不确定性的38.7%。——这种扰动在频率为0.128拉德/秒时产生1的增益。

答案是否定的:robgain发现一个扰动仅相当于指定不确定性的40%，驱动闭环增益为1。

wcu getPeakGain (usubs(闭环),1 e-6)

Ans = 1.0000e+00

这表明对于100%的指定不确定性，闭环增益将超过1。这可以通过计算最坏情况的增益来证实:

wcg = wcgain(ClosedLoop)

wcg =带字段的结构:LowerBound: 1.5767e+00 UpperBound: 1.5799e+00 CriticalFrequency: 5.9577e+00

最坏情况下的增益约为1.6。这一分析表明，虽然控制器K满足干扰抑制和噪声不敏感目标的名义工厂，它是无法维持这一水平的性能为指定水平的工厂不确定性。

另请参阅

robstab|robgain|wcgain|mussv