不确定性建模的数据结构

鲁棒控制工具箱允许您创建不确定元素，例如不确切知道值的物理参数，并将这些元素组合到不确定模型中。然后，您可以轻松地分析不确定性对控制系统性能的影响。

例如，考虑一个植物模型

在哪里γ可以在区间[3,5]和τ平均值0.5，变异性30%。你可以创建一个P(s)的不确定模型，如下例所示:

Gamma = ureal(“伽马”4“范围”[3 - 5]);Tau = ureal(“τ”5,“比例”, 30);P = tf(gamma，[tau 1])

P =不确定连续时间状态空间模型，具有1输出，1输入，1个状态。模型不确定性由以下块组成:gamma:不确定的真实，名义= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定的真实，名义= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现Type“P. nominalvalue”查看名义值，“get(P)”查看所有属性，“P. uncertainty”与不确定元素相互作用。

假设你已经设计了一个积分控制器C有关名义工厂(γ= 4,τ= 0.5)。来找出γ而且τ影响装置和闭环性能，形成闭环系统中电控股从C而且P．

KI = 1/(2*tau.名义*gamma.名义);C = tf(KI，[10]);CLP =反馈(P*C,1)

CLP =不确定连续时间状态空间模型，具有1输出，1输入，2状态。模型不确定性由以下块组成:gamma:不确定的真实，名义上= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定的真实，名义上= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现类型“CLP”。NominalValue”查看标称值，“get(CLP)”查看所有属性，以及“CLP. value”查看标称值。不确定性”与不确定元素相互作用。

绘制装置和闭环系统的阶跃响应图。的一步命令自动生成20个不确定参数的随机样本γ而且τ并画出相应的阶跃响应。

次要情节(2,1,1);步骤(P)、标题(“植物反应(20个样本)”次要情节(2,1,2);步骤(CLP)、标题(“闭环响应(20个样本)”）

图1:植物和闭环模型的阶跃响应

底部图表明，闭环系统是相当稳健的，尽管显着波动的直流增益。这是一个设计合理的反馈系统的普遍特征。

参数不确定性和未建模动力学的直流电动机实例

这个例子建立在前面的例子之上直流电机参数变化的参考跟踪通过添加参数不确定性和未建模动力学，研究伺服控制器在这种不确定性下的鲁棒性。

直流电机的标称型号是由电阻来定义的R，电感l，电动势常数Kb，电枢常数公里，粘性摩擦的线性近似Kf惯性载荷J．这些组件中的每一个都在特定的值范围内变化。电阻和电感常数范围在其标称值的±40%以内。使用尿素的来构造这些不确定参数。

R = ureal(“R”2,“比例”, 40);L = ureal(“L”, 0.5,“比例”, 40);

由于物理原因，的值Kf而且Kb都是一样的，即使他们不确定。在本例中，标称值为0.015，范围在0.012到0.019之间。

K = ureal(“K”, 0.015,“范围”[0.012 - 0.019]);Km = K;Kb = K;

粘滞摩擦,Kf，其标称值为0.2，变化幅度为50%。

Kf = ureal(Kf的, 0.2,“比例”, 50);

电气和机械方程

电路中的电流和施加在转子上的扭矩可以用施加的电压和角速度表示。创建传递函数H关联这些变量，并使AngularSpeed输出为H供以后使用。

H =[1、0公里]*特遣部队(1 (L R)) * [1 kb] + [0 0; 0 1; 0 kf);H.InputName = {“AppliedVoltage”；“AngularSpeed”};H.OutputName = {“当前”；“AngularSpeed”；“RotorTorque”};

电机通常驱动惯量，其动态特性将施加的扭矩与角速度的变化率联系起来。对于刚体，这个值是常数。一个更现实但不确定的模型可能包含未知的阻尼共振。使用ultidyn对象为不确定线性定常动力学建模。将刚体惯性的标称值设为0.02，我们将15%的动态不确定性以乘法形式包含在内。

J = 0.02*(1 + ultidyn(“Jlti”[1],“类型”，“GainBounded”，“约束”, 0.15,.．.“SampleStateDim”4));

直流电机的不确定模型

这是一件很简单的事情AngularSpeed输入RotorTorque通过不确定惯性输出，J，使用融通命令。的AngularSpeed输入=RotorTorque / (J * s)．因此，使用“正”反馈从第三个输出到第二个输入H建立联系。此连接导致系统只有一个输入(AppliedVoltage)和两个输出(当前的而且AngularSpeed）.

Pall = lft(H,tf(1，[1 0])/J);

只选择AngularSpeed控制分析剩余部分的输出。

P = Pall(2，:)

P =不确定连续时间状态空间模型，具有1输出，1输入，2状态。模型不确定性由以下块组成:Jlti:不确定1x1 LTI，峰值增益= 0.15,1次出现K:不确定真实，名义上= 0.015，范围=[0.012,0.019]，2次出现Kf:不确定真实，名义上= 0.2，可变性=[-50,50]%，1次出现L:不确定真实，名义上= 0.5，可变性=[-40,40]%，1次出现R:不确定实值，标称= 2，可变性=[-40,40]%，1次出现输入“P. nominalvalue”查看标称值，“get(P)”查看所有属性，“P. uncertainty”与不确定元素相互作用。

P是一种单输入、单输出的不确定直流电机模型。为便于分析，请使用以下控制器。

Cont = tf(84*[。233 1],[。0357 1 0]);

开环的分析

首先，将标称直流电动机的阶跃响应与直流电动机不确定模型的15个样本进行比较。使用usample显式地指定随机样本的数量。

clf step(usample(P,15)，P. nominalvalue,3)“样本”，“名义”）

图2:植物阶跃反应

同样，比较直流电机的标称(红色)和采样(蓝色)不确定模型的波德响应。

波德(usample (P, 15), P.NominalValue);传奇(“样本”，“名义”）

图3:植物博德反应

鲁棒性分析

在本节中，分析直流电机控制器的鲁棒性。对闭环系统的标称分析表明，反馈回路具有22 dB增益裕度和66度相位裕度的鲁棒性。

保证金(P.NominalValue *续)

图4:闭环鲁棒性分析

的diskmargin函数计算基于磁盘的增益和相位裕度。通过在所有频率和所有反馈环中建模增益和相位变化，磁盘裕度往往是鲁棒性的更准确估计，特别是在多环控制系统中。计算直流电机回路的基于磁盘的裕度。

DM = diskmargin(P.NominalValue*Cont)

DM =带字段的结构:GainMargin: [0.2792 3.5822] PhaseMargin: [-58.8054 58.8054] DiskMargin: 1.1271下界:1.1271上界:1.1271频率:5.0062最坏的扰动:[1x1 ss]

虽然小于经典增益和相位裕度，但基于磁盘的裕度基本上证实了名义反馈环是非常稳健的。现在，回想一下，直流电机工厂是不确定的。建模的不确定性如何影响这些稳定裕度?为了快速了解，绘制20个不确定开环响应样本的基于圆盘的增益和相位裕度。

diskmarginplot (P *续,P.NominalValue *续)传说(“样本”，“名义”）

工厂不确定性的一些组合导致利润更小。这幅图只显示了一个小样本。使用最坏情况分析来找出利润率到底有多糟糕。的wcdiskmargin函数直接计算模型不确定性的最差情况增益和相位裕度。

wcDM = wcdiskmargin(P*Cont;“输出”）

wcDM =带字段的结构:GainMargin: [0.8728 1.1457] PhaseMargin: [-7.7680 7.7680] DiskMargin: 0.1358 LowerBound: 0.1358 UpperBound: 0.1361 CriticalFrequency: 4.9846最差扰动:[1x1 ss]

mag2db (wcDM.GainMargin)

ans =1×2-1.1812 - 1.1812

在这里，最坏情况的裕度只有1.2 dB和7.8度，这表明对于某些不确定元素的组合，闭环几乎是不稳定的。

抗扰特性的鲁棒性

灵敏度函数是反馈系统闭环性能的一个标准度量。计算不确定灵敏度函数年代比较了标称和采样不确定灵敏度函数的波德幅度图。

S =反馈(1,P*Cont);bodemag(年代,S.Nominal)传说(“样本”，“名义”）

图5:灵敏度函数S的大小。

在时域中，灵敏度函数表示如何很好地拒绝阶跃干扰。绘制其阶跃响应，以查看干扰抑制特性的可变性(标称显示为红色)。

步骤(年代,S.Nominal)标题(“抗干扰”)传说(“样本”，“名义”）

图6:抑制阶跃扰动。

使用wcgain函数来计算灵敏度函数峰值增益的最差情况值。

[maxgain,worstuncertainty] = wcgain(S);maxgain

maxgain =带字段的结构:LowerBound: 7.5196 UpperBound: 7.5355 CriticalFrequency: 4.9973

与usubs函数可以将不确定元素的最坏情况值代入不确定灵敏度函数年代．这就给出了最坏情况的灵敏度函数Sworst在整个不确定范围内。的峰值增益Sworst匹配计算的下界wcgain．

最坏= usubs(S，最坏不确定性);规范(Sworst正)

Ans = 7.5196

maxgain。lowerBound

Ans = 7.5196

现在比较标称灵敏度和最差情况灵敏度的阶跃响应。

步骤(Sworst S.NominalValue 6);标题(“抗干扰”)传说(“最坏的”，“名义”）

图7:阶跃扰动的名义和最坏情况抑制

显然，某些不确定元素的组合显著降低了控制器快速抑制扰动的能力。最后，绘制灵敏度函数的标称值和最差情况值的大小。观察的峰值Sworst发生在频率上maxgain。CriticalFrequency：

bodemag (Sworst S.NominalValue)传说(“最坏的”，“名义”)举行在semilogx (maxgain.CriticalFrequency, 20 * log10 (maxgain.LowerBound),“g *”）

图8:名义和最坏情况敏感性的大小