主要内容

滤波器的实现

卷积与滤波

滤波的数学基础是卷积。对于有限脉冲响应(FIR)滤波器，输出y（k）滤波运算的关键是输入信号的卷积x（k）脉冲响应h（k）：

y （ k ） ＝ ∑ l ＝ − ∞ ∞ h （ l ） x （ k − l ） ．

如果输入信号也是有限长度的，可以使用MATLAB实现滤波操作®conv函数。例如，要用三阶平均滤波器过滤一个五样本随机向量，您可以存储x（k）在向量中x，h（k）在向量中h，并对两者进行卷积:

X = randn(5,1);H = [1 1 1 1]/4;三阶滤波器的长度为4Y = conv(h,x)
Y = -0.3375 0.4213 0.6026 0.5868 1.1030 0.3443 0.1629 0.1787
的长度y1是否比的长度和小x而且h．

滤波器和传递函数

滤波器的传递函数是其脉冲响应的z变换。对于FIR滤波器，输出的z变换y，Y（z），为传递函数和的乘积X（z），即输入的z变换x：

Y （ z ） ＝ H （ z ） X （ z ） ＝ （ h （ 1 ） + h （ 2 ） z − 1 + ⋯ + h （ n + 1 ） z − n ） X （ z ） ．

多项式系数h(1),h(2)、…h（n+ 1)对应于an的脉冲响应系数n阶滤波器。

请注意

滤波系数指标取值范围为1 ~ (n+ 1)，而不是从0到n．这反映了用于MATLAB向量的标准索引方案。

FIR滤波器也称为全零、非递归或移动平均(MA)滤波器。

对于无限脉冲响应滤波器，传递函数不是多项式，而是有理函数。输入和输出信号的z变换由

Y （ z ） ＝ H （ z ） X （ z ） ＝ b （ 1 ） + b （ 2 ） z − 1 + .．. + b （ n + 1 ） z − n 一个 （ 1 ） + 一个 （ 2 ） z − 1 + .．. + 一个 （ 米 + 1 ） z − 米 X （ z ） ，

在哪里b（我),一个（我)为滤波系数。在这种情况下，过滤器的阶数为的最大值n而且米．带IIR滤波器n= 0也称为全极、递归或自回归(AR)滤波器。IIR滤波器与两者n而且米大于零的也称为极点零、递归或自回归移动平均(ARMA)滤波器。首字母缩写AR, MA和ARMA通常应用于与过滤后的随机过程相关的滤波器。

使用过滤器函数

对于IIR滤波器，滤波操作不是由一个简单的卷积描述的，而是由一个可以从传递函数关系中找到的差分方程描述的。假设一个(1) = 1，将分母移到左边，进行z反变换，得到

y （ k ） + 一个 （ 2 ） y （ k − 1 ） + .．. + 一个 （ 米 + 1 ） y （ k − 米 ） ＝ b （ 1 ） x （ k ） + b （ 2 ） x （ k − 1 ） + ⋯ + b （ n + 1 ） x （ k − n ） ．

就当前和过去的投入，以及过去的产出而言，y（k)是

y （ k ） ＝ b （ 1 ） x （ k ） + b （ 2 ） x （ k − 1 ） + ⋯ + b （ n + 1 ） x （ k − n ） − 一个 （ 2 ） y （ k − 1 ） − ⋯ − 一个 （ 米 + 1 ） y （ k − 米 ） ，

这是数字滤波器的标准时域表示。从y(1)并假设一个零初始条件的因果系统，则表示为

y （ 1 ） ＝ b （ 1 ） x （ 1 ） y （ 2 ） ＝ b （ 1 ） x （ 2 ） + b （ 2 ） x （ 1 ） − 一个 （ 2 ） y （ 1 ） y （ 3. ） ＝ b （ 1 ） x （ 3. ） + b （ 2 ） x （ 2 ） + b （ 3. ） x （ 1 ） − 一个 （ 2 ） y （ 2 ） − 一个 （ 3. ） y （ 1 ） ⋮ y （ n ） ＝ b （ 1 ） x （ n ） + ⋯ + b （ n ） x （ 1 ） − 一个 （ 2 ） y （ n − 1 ） − ⋯ − 一个 （ n ） y （ 1 ） ．

要实现这个过滤操作，可以使用MATLAB过滤器函数。过滤器将系数存储在两个行向量中，一个用于分子，一个用于分母。例如，解差分方程

y （ n ） − 0.9 y （ n − 1 ） ＝ x （ n ） ⇒ Y （ z ） ＝ 1 1 − 0.9 z − 1 X （ z ） ＝ H （ z ） X （ z ） ，

你可以使用

B = 1;A = [1 -0.9];Y = filter(b,a,x);
过滤器给出和输入样本一样多的输出样本，也就是的长度y和的长度一样吗x．的第一个元素一个不是1吗过滤器将系数除以一个(1)在实现差分方程之前。

另请参阅

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基于MATLAB的深度学习信号处理

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