强大的功能选择使用NCA的回归

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执行特征选择是稳健的使用NCA定制稳健损失函数的异常值。

产生离群数据

生成的采样数据进行回归，其中响应取决于三个预测器，即预测器4，图7和13。

RNG（123，'twister'）%的再现性n = 200;X = randn (n, 20);y = cos (X (:, 7)) + sin (X(:, 4)。* X (:, 13)) + 0.1 * randn (n, 1);

给数据添加异常值。

numoutliers = 25;outlieridx =地板（linspace（10,90，numoutliers））;Y（outlieridx）= 5 * randn（numoutliers，1）;

绘制数据。

图绘制(y)

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

使用非鲁棒损耗函数

特征选择算法的性能高度取决于正则化参数的值。一个好的做法是调整正则化参数以获得在特征选择中使用的最佳值。使用五倍交叉验证调整正则化参数。使用均方错误（MSE）：

$MSE = \frac{1}{N.} {σ.}_{一世 = 1}^{N.} {（ y_{一世} - y_{j} ）}^{2}$

首先，将数据划分为5重。在各个折叠，软件将使用4 /数据用于训练和第五进行验证（测试）1 /数据的第5位。

CVP = cvpartition（长度（Y），'kfold'5）;numtestsets = cvp.numtestsets;

计算λ值以测试和创建一个数组来存储损失值。

lambdavals=linspace（0,3,50）*标准（y）/长度（y）；lossvals=零（长度（lambdavals），numtestset）；

执行NCA和计算每个损失 $λ$ 价值和每个折叠。

为了i=1：长度（λ）为了k=1:numtestsets Xtrain=X（cvp.training（k），：）；ytrain=y（cvp.培训（k），：）；Xtest=X（cvp试验（k），：）；y试验=y（cvp试验（k），：）；nca=fsrnca（Xtrain，ytrain，'fitmethod'那“准确”那......“解算器”那'lbfgs'那'verbose'，0，'lambda'，lambdavals（i），......'损失'那mse的）;lossvals（I，K）=损失（NCA，XTEST，ytest，'损失'那mse的）;结尾结尾

绘制对应于每个λ值的平均损失。

图意为=卑鄙（损失，2）;情节（Lambdavals，Meanloss，“滚装”)xlabel('lambda')伊拉贝尔('损失（MSE）'） 网格在…上

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

找出 $λ$ 值产生最小平均损失。

[~, idx] = min(意味着(lossvals, 2));bestlambda = lambdavals (idx)

bestlambda = 0.0231

使用最佳配置执行特征选择 $λ$ 价值和MSE。

nca=fsrnca（X，y，'fitmethod'那“准确”那“解算器”那'lbfgs'那......'verbose'1，'lambda'bestlambda,'损失'那mse的）;

ø求解= LBFGS，HessianHistorySize = 15，LineSearchMethod = weakwolfe | ==================================================================================================== ||磨练|FUN VALUE |NORM GRAD |NORM STEP |CURV |GAMMA |ALPHA |接受| |====================================================================================================| | 0 | 6.414642e+00 | 8.430e-01 | 0.000e+00 | | 7.117e-01 | 0.000e+00 | YES | | 1 | 6.066100e+00 | 9.952e-01 | 1.264e+00 | OK | 3.741e-01 | 1.000e+00 | YES | | 2 | 5.498221e+00 | 4.267e-01 | 4.250e-01 | OK | 4.016e-01 | 1.000e+00 | YES | | 3 | 5.108548e+00 | 3.933e-01 | 8.564e-01 | OK | 3.599e-01 | 1.000e+00 | YES | | 4 | 4.808456e+00 | 2.505e-01 | 9.352e-01 | OK | 8.798e-01 | 1.000e+00 | YES | | 5 | 4.677382e+00 | 2.085e-01 | 6.014e-01 | OK | 1.052e+00 | 1.000e+00 | YES | | 6 | 4.487789e+00 | 4.726e-01 | 7.374e-01 | OK | 5.593e-01 | 1.000e+00 | YES | | 7 | 4.310099e+00 | 2.484e-01 | 4.253e-01 | OK | 3.367e-01 | 1.000e+00 | YES | | 8 | 4.258539e+00 | 3.629e-01 | 4.521e-01 | OK | 4.705e-01 | 5.000e-01 | YES | | 9 | 4.175345e+00 | 1.972e-01 | 2.608e-01 | OK | 4.018e-01 | 1.000e+00 | YES | | 10 | 4.122340e+00 | 9.169e-02 | 2.947e-01 | OK | 3.487e-01 | 1.000e+00 | YES | | 11 | 4.095525e+00 | 9.798e-02 | 2.529e-01 | OK | 1.188e+00 | 1.000e+00 | YES | | 12 | 4.059690e+00 | 1.584e-01 | 5.213e-01 | OK | 9.930e-01 | 1.000e+00 | YES | | 13 | 4.029208e+00 | 7.411e-02 | 2.076e-01 | OK | 4.886e-01 | 1.000e+00 | YES | | 14 | 4.016358e+00 | 1.068e-01 | 2.696e-01 | OK | 6.919e-01 | 1.000e+00 | YES | | 15 | 4.004521e+00 | 5.434e-02 | 1.136e-01 | OK | 5.647e-01 | 1.000e+00 | YES | | 16 | 3.986929e+00 | 6.158e-02 | 2.993e-01 | OK | 1.353e+00 | 1.000e+00 | YES | | 17 | 3.976342e+00 | 4.966e-02 | 2.213e-01 | OK | 7.668e-01 | 1.000e+00 | YES | | 18 | 3.966646e+00 | 5.458e-02 | 2.529e-01 | OK | 1.988e+00 | 1.000e+00 | YES | | 19 | 3.959586e+00 | 1.046e-01 | 4.169e-01 | OK | 1.858e+00 | 1.000e+00 | YES | |====================================================================================================| | ITER | FUN VALUE | NORM GRAD | NORM STEP | CURV | GAMMA | ALPHA | ACCEPT | |====================================================================================================| | 20 | 3.953759e+00 | 8.248e-02 | 2.892e-01 | OK | 1.040e+00 | 1.000e+00 | YES | | 21 | 3.945475e+00 | 3.119e-02 | 1.698e-01 | OK | 1.095e+00 | 1.000e+00 | YES | | 22 | 3.941567e+00 | 2.350e-02 | 1.293e-01 | OK | 1.117e+00 | 1.000e+00 | YES | | 23 | 3.939468e+00 | 1.296e-02 | 1.805e-01 | OK | 2.287e+00 | 1.000e+00 | YES | | 24 | 3.938662e+00 | 8.591e-03 | 5.955e-02 | OK | 1.553e+00 | 1.000e+00 | YES | | 25 | 3.938239e+00 | 6.421e-03 | 5.334e-02 | OK | 1.102e+00 | 1.000e+00 | YES | | 26 | 3.938013e+00 | 5.449e-03 | 6.773e-02 | OK | 2.085e+00 | 1.000e+00 | YES | | 27 | 3.937896e+00 | 6.226e-03 | 3.368e-02 | OK | 7.541e-01 | 1.000e+00 | YES | | 28 | 3.937820e+00 | 2.497e-03 | 2.397e-02 | OK | 7.940e-01 | 1.000e+00 | YES | | 29 | 3.937791e+00 | 2.004e-03 | 1.339e-02 | OK | 1.863e+00 | 1.000e+00 | YES | | 30 | 3.937784e+00 | 2.448e-03 | 1.265e-02 | OK | 9.667e-01 | 1.000e+00 | YES | | 31 | 3.937778e+00 | 6.973e-04 | 2.906e-03 | OK | 4.672e-01 | 1.000e+00 | YES | | 32 | 3.937778e+00 | 3.038e-04 | 9.502e-04 | OK | 1.060e+00 | 1.000e+00 | YES | | 33 | 3.937777e+00 | 2.327e-04 | 1.069e-03 | OK | 1.597e+00 | 1.000e+00 | YES | | 34 | 3.937777e+00 | 1.959e-04 | 1.537e-03 | OK | 4.026e+00 | 1.000e+00 | YES | | 35 | 3.937777e+00 | 1.162e-04 | 1.464e-03 | OK | 3.418e+00 | 1.000e+00 | YES | | 36 | 3.937777e+00 | 8.353e-05 | 3.660e-04 | OK | 7.304e-01 | 5.000e-01 | YES | | 37 | 3.937777e+00 | 1.412e-05 | 1.412e-04 | OK | 7.842e-01 | 1.000e+00 | YES | | 38 | 3.937777e+00 | 1.277e-05 | 3.808e-05 | OK | 1.021e+00 | 1.000e+00 | YES | | 39 | 3.937777e+00 | 8.614e-06 | 3.698e-05 | OK | 2.561e+00 | 1.000e+00 | YES | |====================================================================================================| | ITER | FUN VALUE | NORM GRAD | NORM STEP | CURV | GAMMA | ALPHA | ACCEPT | |====================================================================================================| | 40 | 3.937777e+00 | 3.159e-06 | 5.299e-05 | OK | 4.331e+00 | 1.000e+00 | YES | | 41 | 3.937777e+00 | 2.657e-06 | 1.080e-05 | OK | 7.038e-01 | 5.000e-01 | YES | | 42 | 3.937777e+00 | 7.054e-07 | 7.036e-06 | OK | 9.519e-01 | 1.000e+00 | YES | Infinity norm of the final gradient = 7.054e-07 Two norm of the final step = 7.036e-06, TolX = 1.000e-06 Relative infinity norm of the final gradient = 7.054e-07, TolFun = 1.000e-06 EXIT: Local minimum found.

绘制选择功能。

图绘图（nca.featureweights，'ro'） 网格在…上包含('特征索引')伊拉贝尔(“特征权重”）

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

使用该预测响应值NCA模型并绘制拟合（预测的）响应值和实际响应值。

图嵌合=预测（NCA，X）;图（Y，'r。')举行在…上情节(安装,“b-”)xlabel('指数')伊拉贝尔(“拟合值”）

图包含轴对象。轴对象包含型线的2个对象。

fsrnca试图以适应数据包括异常值的每一个点。其结果是它分配的非零权重的许多功能，除了预测4,7，和13。

使用内置鲁棒丢失功能

重复优化正则化参数的相同过程，这次使用内置的 $ϵ$ - 敏感损耗功能：

$L. （ y_{一世} 那 y_{j} ） = 最大限度（ 0. 那 | y_{一世} - y_{j} | - ϵ ）$

$ϵ$ - 异位损耗函数对异常值更加强大而不是平均平均误差。

lambdavals=linspace（0,3,50）*std（y）/长度（y）；cvp=cvpartition（长度（y），'kfold',5); numtestsets=cvp.numtestsets；lossvals=零（长度（lambdavals），numtestset）；为了i=1：长度（λ）为了k=1:numtestsets Xtrain=X（cvp.training（k），：）；ytrain=y（cvp.培训（k），：）；Xtest=X（cvp试验（k），：）；y试验=y（cvp试验（k），：）；nca=fsrnca（Xtrain，ytrain，'fitmethod'那“准确”那......“解算器”那'SGD'那'verbose'，0，'lambda'，lambdavals（i），......'损失'那'epsiloninsensitive'那'epsilon'损失（i，k）=损失（nca、Xtest、ytest、，'损失'那mse的）;结尾结尾

这 $ϵ$ 使用的值取决于数据，并且可以使用交叉验证确定最佳值。但选择这一点 $ϵ$ 值的本实施例的范围进行。选择 $ϵ$ 在这个例子中，主要是用于说明该方法的鲁棒性。

绘制对应于每个λ值的平均损失。

图意为=卑鄙（损失，2）;情节（Lambdavals，Meanloss，“滚装”)xlabel('lambda')伊拉贝尔('损失（MSE）'） 网格在…上

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

找到产生最小平均损耗的Lambda值。

[~, idx] = min(意味着(lossvals, 2));bestlambda = lambdavals (idx)

Bestlambda = 0.0187.

使用适合邻里成分分析模型 $ϵ$ - 敏感损失函数和最佳Lambda值。

nca=fsrnca（X，y，'fitmethod'那“准确”那“解算器”那'SGD'那......'lambda'bestlambda,'损失'那'epsiloninsensitive'那'epsilon',0.8);

绘制选择功能。

图绘图（nca.featureweights，'ro'） 网格在…上包含('特征索引')伊拉贝尔(“特征权重”）

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

绘制拟合值。

图嵌合=预测（NCA，X）;图（Y，'r。')举行在…上情节(安装,“b-”)xlabel('指数')伊拉贝尔(“拟合值”）

图包含轴对象。轴对象包含型线的2个对象。

$ϵ$ 不敏感的损失似乎更稳健的异常值。它确定了比MSE作为相关的功能较少。拟合表明，它仍然受到一些异常值的影响。

使用定制鲁棒丢失功能

定义自定义强大的损耗函数，对回归中的特征选择使用的异常值是强大的：

$F （ y_{一世} 那 y_{j} ） = 1 - exp. （ - | y_{一世} - y_{j} | ）$

customlossFcn = @（YI，YJ）1  -  EXP（-abs（YI-YJ'））;

使用自定义定义的鲁棒丢失函数调整正则化参数。

lambdavals=linspace（0,3,50）*std（y）/长度（y）；cvp=cvpartition（长度（y），'kfold',5); numtestsets=cvp.numtestsets；lossvals=零（长度（lambdavals），numtestset）；为了i=1：长度（λ）为了k=1:numtestsets Xtrain=X（cvp.training（k），：）；ytrain=y（cvp.培训（k），：）；Xtest=X（cvp试验（k），：）；y试验=y（cvp试验（k），：）；nca=fsrnca（Xtrain，ytrain，'fitmethod'那“准确”那......“解算器”那'lbfgs'那'verbose'，0，'lambda'，lambdavals（i），......'损失'，customlossfcn）;lossvals（I，K）=损失（NCA，XTEST，ytest，'损失'那mse的）;结尾结尾

绘制对应于每个λ值的平均损失。

图意为=卑鄙（损失，2）;情节（Lambdavals，Meanloss，“滚装”)xlabel('lambda')伊拉贝尔('损失（MSE）'） 网格在…上

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

找出 $λ$ 值产生最小平均损失。

[~, idx] = min(意味着(lossvals, 2));bestlambda = lambdavals (idx)

Bestlambda = 0.0165.

使用自定义鲁棒丢失功能执行功能选择和最佳 $λ$ 价值。

nca=fsrnca（X，y，'fitmethod'那“准确”那“解算器”那'lbfgs'那......'verbose'1，'lambda'bestlambda,'损失'，customlossfcn）;

ø求解= LBFGS，HessianHistorySize = 15，LineSearchMethod = weakwolfe | ==================================================================================================== ||磨练|FUN VALUE |NORM GRAD |NORM STEP |CURV |GAMMA |ALPHA |接受| |====================================================================================================| | 0 | 8.610073e-01 | 4.921e-02 | 0.000e+00 | | 1.219e+01 | 0.000e+00 | YES | | 1 | 6.582278e-01 | 2.328e-02 | 1.820e+00 | OK | 2.177e+01 | 1.000e+00 | YES | | 2 | 5.706490e-01 | 2.241e-02 | 2.360e+00 | OK | 2.541e+01 | 1.000e+00 | YES | | 3 | 5.677090e-01 | 2.666e-02 | 7.583e-01 | OK | 1.092e+01 | 1.000e+00 | YES | | 4 | 5.620806e-01 | 5.524e-03 | 3.335e-01 | OK | 9.973e+00 | 1.000e+00 | YES | | 5 | 5.616054e-01 | 1.428e-03 | 1.025e-01 | OK | 1.736e+01 | 1.000e+00 | YES | | 6 | 5.614779e-01 | 4.446e-04 | 8.350e-02 | OK | 2.507e+01 | 1.000e+00 | YES | | 7 | 5.614653e-01 | 4.118e-04 | 2.466e-02 | OK | 2.105e+01 | 1.000e+00 | YES | | 8 | 5.614620e-01 | 1.307e-04 | 1.373e-02 | OK | 2.002e+01 | 1.000e+00 | YES | | 9 | 5.614615e-01 | 9.318e-05 | 4.128e-03 | OK | 3.683e+01 | 1.000e+00 | YES | | 10 | 5.614611e-01 | 4.579e-05 | 8.785e-03 | OK | 6.170e+01 | 1.000e+00 | YES | | 11 | 5.614610e-01 | 1.232e-05 | 1.582e-03 | OK | 2.000e+01 | 5.000e-01 | YES | | 12 | 5.614610e-01 | 3.174e-06 | 4.742e-04 | OK | 2.510e+01 | 1.000e+00 | YES | | 13 | 5.614610e-01 | 7.896e-07 | 1.683e-04 | OK | 2.959e+01 | 1.000e+00 | YES | Infinity norm of the final gradient = 7.896e-07 Two norm of the final step = 1.683e-04, TolX = 1.000e-06 Relative infinity norm of the final gradient = 7.896e-07, TolFun = 1.000e-06 EXIT: Local minimum found.

绘制选择功能。

图绘图（nca.featureweights，'ro'） 网格在…上包含('特征索引')伊拉贝尔(“特征权重”）

图包含轴对象。轴对象包含类型线的对象。

绘制拟合值。

图嵌合=预测（NCA，X）;图（Y，'r。')举行在…上情节(安装,“b-”)xlabel('指数')伊拉贝尔(“拟合值”）

图包含轴对象。轴对象包含型线的2个对象。

在这种情况下，损失不会受异常值和结果是基于大多数观测值的。fsrnca将预测器4、7和13检测为相关功能，不选择任何其他功能。

为什么损失函数选择会影响结果？

首先，计算损失函数为两个观察之间的差的值系列。

deltay = linspace（-10,10,1000）';

计算自定义损失函数值。

customlossvals = customlossFcn（DELTAY，0）;

计算epsilon不敏感损耗函数和值。

Epsinsensitive = @（yi，yj，e）max（0，abs（yi-yj'） -  e）;EPSINSENVALS = EMSINSENSIVE（DELTAY，0,0.5）;

计算MSE损失函数和值。

MSE = @（YI，YJ）（YI-YJ'）^ 2。msevals = MSE（DELTAY，0）;

现在，绘制损失函数，以查看它们的差异以及它们为什么以他们的方式影响结果。

图图（DELTAY，customlossvals，'G-'，Deltay，Epsinenvals，“b-”，DELTAY，msevals，'r-')xlabel('（yi  -  yj）')伊拉贝尔('损失（yi，yj）'） 传奇（'customloss'那'epsiloninsensitive'那mse的ylim（[020]）

图包含轴对象。轴对象包含类型线的3个对象。这些对象代表customloss，epsiloninsensitive，MSE。

作为两个响应值之间的差增大，MSE平方增加，这使得它对于异常值非常敏感。作为fsrnca尝试最大限度地减少这种损失，它最终确定了与相关的更多功能。epsilon不敏感的损失比MSE更耐耐异常值，但最终它确实开始线性增加，因为两个观察结果之间的差异增加。由于两个观察结果之间的差异，鲁棒损失函数确实接近1并保持该值，即使观察之间的差异不断增加。三分之一来，它是对异常值最强大的。

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