Evaluate Symbolic Inputs with Variable-Precision Arithmetic

评估具有可变精确浮点算术的符号输入。默认，vpacalculates values to 32 significant digits.

信谊x p =符号(π);piVpa = vpa (p)

PIVPA = 3.1415926535897932384626433832795

a = sym（1/3）;f = a*sin（2*p*x）;FVPA = VPA（F）

FVPA = 0.3333333333333333333333333333333333333*SIN（6.28318530717958647692528676666559*X）

评估具有可变精确算术的向量或矩阵的元素。

V = [x/p a^3]; M = [sin(p) cos(p/5); exp(p*x) x/log(p)]; vpa(V) vpa(M)

一个ns = [ 0.31830988618379067153776752674503*x, 0.037037037037037037037037037037037] ans = [ 0, 0.80901699437494742410229341718282] [ exp(3.1415926535897932384626433832795*x), 0.87356852683023186835397746476334*x]

Change Precision Used byvpa

默认，vpaevaluates inputs to 32 significant digits. You can change the number of significant digits by using the数字功能。

Approximate the expression100001/10001with seven significant digits using数字。Save the old value of数字returned by数字（7）。Thevpa函数仅返回五个重要数字，这可能意味着剩余数字是零。

数字Old = digits(7); y = sym(100001)/10001; vpa(y)

ANS = 9.9991

Check if the remaining digits are zeros by using a higher precision value of25。结果表明剩余数字实际上是重复的十进制。

数字（（25) vpa(y)

ANS = 9.999100089991000899910009

Alternatively, to override数字单一vpa电话,改变e precision by specifying the second argument.

通过指定第二个参数，找到π到100个有意义的数字。

VPA（pi,100)

一个ns = 3.141592653589793238462643383279502884197169... 39937510582097494459230781640628620899862803... 4825342117068

恢复原始的精度值数字Oldfor further calculations.

数字（（digitsOld)

数值近似符号结果

虽然符号结果是准确的，但它们可能不采取方便的形式。您可以使用vpa在数值上近似精确的符号结果。

Solve a high-degree polynomial for its roots using解决。The解决function cannot symbolically solve the high-degree polynomial and represents the roots using根。

符号Xy = solve(x^4 - x + 1, x)

y = root（z^4 -z + 1，z，1）root（z^4 -z + 1，z，2）root（z^4 -z + 1，z，3）root（z^4--z + 1，z，4）

Usevpato numerically approximate the roots.

yVpa = vpa(y)

yVpa = 0.72713608449119683997667565867496 - 0.43001428832971577641651985839602i 0.72713608449119683997667565867496 + 0.43001428832971577641651985839602i - 0.72713608449119683997667565867496 - 0.93409928946052943963903028710582i - 0.72713608449119683997667565867496 + 0.93409928946052943963903028710582i

vpa使用后卫数字来保持精度

The value of the数字函数指定使用的最小数字数量。在内部vpa可以使用更多的数字数字specifies. These additional digits are called guard digits because they guard against round-off errors in subsequent calculations.

Numerically approximate1/3using four significant digits.

一个= vpa(1/3, 4)

一个= 0.3333

近似结果一个using 20 digits. The result shows that the toolbox internally used more than four digits when computing一个。The last digits in the result are incorrect because of the round-off error.

VPA（一个，，，，20)

ANS = 0.333333333333033016843

Avoid Hidden Round-off Errors

隐藏的圆形错误可能会导致意外结果。

Evaluate1/10使用默认的32位数精度，然后使用10位数字精度。

A = VPA（1/10，32）B = VPA（1/10，10）

a = 0.1 b = 0.1

Superficially,一个一个ndb看起来相等。查找他们的平等一个- b。

一个- b

一个ns = 0.000000000000000000086736173798840354720600815844403

差异不等于零，因为bwas calculated with only10精度的数字和包含比一个。When you find一个- b，，，，vpa一个pproximatesb有32位数字。演示这种行为。

一个- vpa(b, 32)

一个ns = 0.000000000000000000086736173798840354720600815844403

vpa恢复普通双重精确输入的精度

Unlike exact symbolic values, double-precision values inherently contain round-off errors. When you callvpaon a double-precision input,vpa即使返回的数字比双精度值更多，也无法恢复丢失的精度。然而，vpa可以识别并恢复表格的表达精度p/问，，，，pπ/问，，，，（（p/问）^1/2，，，，2^问，，，，一个nd10^问，，，，wherep一个nd问一个re modest-sized integers.

First, demonstrate thatvpacannot restore precision for a double-precision input. Callvpaon a double-precision result and the same symbolic result.

dp= log(3); s = log(sym(3)); dpVpa = vpa(dp) sVpa = vpa(s) d = sVpa - dpVpa

dpvpa = 1.09861228868681095600636126619065 svpa = 1.09861222886686868196913952452452452369225

正如预期的那样，双精度结果与16的确切结果不同^Thdecimal place.

Demonstrate thatvpa恢复表格表达式的精度p/问，，，，pπ/问，，，，（（p/问）^1/2，，，，2^问，，，，一个nd10^问，，，，wherep一个nd问是适度大小的整数，通过找到vpacall on the double-precision result and on the exact symbolic result. The differences are0.0显示vpa恢复双重精确输入中丢失的精度。

VPA（1/3) - vpa(1/sym(3)) vpa(pi) - vpa(sym(pi)) vpa(1/sqrt(2)) - vpa(1/sqrt(sym(2))) vpa(2^66) - vpa(2^sym(66)) vpa(10^25) - vpa(10^sym(25))

一个ns = 0.0 ans = 0.0 ans = 0.0 ans = 0.0 ans = 0.0