主要内容

连续小波变换与基于尺度的分析

连续小波变换的定义

就像傅里叶变换连续小波变换(CWT)利用内积来衡量信号与分析下载188bet金宝搏函数之间的相似性。在傅里叶变换中，分析函数是复指数， e j ω t ．由此产生的变换是一个单一变量ω的函数。在短时傅里叶变换中，分析函数是加窗复指数， w （ t ） e j ω t ，结果是两个变量的函数。STFT系数， F （ ω ， τ ） ， 表示信号与角频率ω的正弦信号在以τ为中心的指定长度的区间内的匹配。

在CWT中，分析函数是一个小波，ψ。CWT将信号与小波的移位、压缩或拉伸版本进行比较。拉伸或压缩一个函数统称为扩张或扩展和物理概念相对应规模．通过在不同的尺度和位置将信号与小波进行比较，可以得到两个变量的函数。一维信号的二维表示是冗余的。如果小波是复值的，则CWT是尺度和位置的复值函数。如果信号是实值，则CWT是尺度和位置的实值函数。对于缩放参数，> 0，和位置，b时，CWT为:

C （ 一个 ， b ； f （ t ） ， ψ （ t ） ） ＝ ∫ − ∞ ∞ f （ t ） 1 一个 ψ ＊ （ t − b 一个 ） d t

在哪里 ＊ 表示复共轭。不仅尺度和位置的大小会影响CWT系数，小波的选择也会影响CWT系数的大小。

通过不断改变缩放参数的值，一个，位置参数，b，则得到波变换系数C (a, b)．注意，为了方便起见，CWT系数对函数和分析小波的依赖性被抑制了。

将每个系数乘以相应比例的和移位小波产生原始信号的组成小波。

在CWT中有许多不同的可容许小波。虽然分析小波有这么多的选择似乎令人困惑，但它实际上是小波分析的一个优点。根据您要检测的信号特征，您可以自由选择有助于检测该特征的小波。例如，如果您试图检测信号中的突然不连续，您可以选择一个小波。另一方面，如果您对寻找具有平滑起始点和偏移量的振荡感兴趣，则可以自由地选择与该行为更接近的小波。

规模

就像频率的概念一样，规模是信号和图像的另一个有用属性。例如，您可以分析温度数据在不同尺度上的变化。你可以看看每年或十年之间的变化。当然，您也可以检查更细的(每天的)或更粗的规模变化。有些过程在长时间或空间尺度上揭示了有趣的变化，而这些变化在小时间或空间尺度上并不明显。相反的情况也会发生。我们的一些感知能力表现出来尺度不变性．不管你看的是大肖像画还是小照片，你都能认出你认识的人。

为了超越诸如“拉伸”或“收缩”之类的口语化描述，我们引入了比例因子，通常用字母表示一个．比例因子本身就是一个正数，一个> 0．对于正弦波，比例因子的影响是很容易看到的。

在sin ()，刻度为弧度频率的倒数，一个．

比例因子与小波的原理完全相同。比例因子越小，小波越“压缩”。相反，尺度越大，小波越延伸。下图说明了在尺度1、2和4上的小波。

这种比例和频率之间的反比关系一般适用于信号。

时间尺度表示不仅是一种不同的查看数据的方式，而且是一种非常自然的查看来自大量自然现象的数据的方式。

规模和频率

在规模和频率之间显然有关系。回忆一下，更长的尺度对应于最“拉伸”的小波。小波越宽，与之比较的信号部分就越长，因此小波系数测量的信号特征就越粗糙。

综上所述，规模与频率之间的一般对应关系为:

  • 小范围内一个⇒压缩后的小波⇒快速变化的细节⇒高频ω。

  • 长时间尺度一个⇒拉伸小波⇒缓慢变化的、粗糙的特征⇒低频ω。

虽然规模和频率之间存在一般关系，但不存在精确的关系。熟悉傅里叶分析的用户经常想要定义在给定尺度上具有指定采样周期的小波与以赫兹为单位的频率之间的映射。你只能在一般情况下这样做。因此，最好讨论一个标度所对应的伪频率。小波工具箱™软件提供两个功能centfrq而且scal2frq，使您能够为指定的小波和尺度找到这些近似的尺度-频率关系。

基本方法是将小波的傅里叶变换中的峰值功率作为其中心频率，并将该值除以尺度和采样间隔的乘积。看到scal2frq获取详细信息。下面的例子显示了估计的中心频率之间的匹配db8小波和相同频率的正弦信号。

文中还探讨了CWT中尺度与频率的关系连续小波变换的带通滤波器．

转移

改变一个小波仅仅意味着延迟(或提前)它的发生。数学上，延迟函数f(t)k表示为f (t- - - - - -k）：

CWT作为一个窗口变换

在短时傅里叶变换时，STFT被描述为对信号进行加窗以创建本地频率分析。STFT方法的一个缺点是窗口大小是恒定的。在窗口大小的选择上需要权衡。较长的时间窗口提高了频率分辨率，但导致较差的时间分辨率，因为在窗口的持续时间内，傅里叶变换失去了所有的时间分辨率。相反，较短的时间窗口提高了时间定位，但导致较差的频率分辨率。

小波分析代表了下一个逻辑步骤:具有可变大小区域的窗口技术。小波分析允许在需要更精确的低频信息时使用较长的时间间隔，在需要高频信息时使用较短的区域。

下图对比了STFT和小波分析对时频平面的不同分解方式。