小波变换点检测
这个例子展示了如何使用小波来检测过程方差的变化。方差的变化很重要，因为它们通常表明数据生成机制发生了根本性的变化。
第一个例子将小波变化点检测应用于一个非常古老的时间序列——公元622年至1281年的尼罗河最小值数据。在开罗附近的罗达测量仪上测量了河流水位的最低点。测量单位是米。
加载并绘制数据。
负载nileriverminima年份= 622:1284;Figure plot(years,nileriverminima)“尼罗河最低水位”) AX = gca;斧子。XTick = 622:100:1222;网格在包含(“年”) ylabel (“米”）
公元715年左右，一种新的测量设备开始建造。检查大约公元722年前后的数据，数据的可变性似乎发生了变化。您可以使用小波来探索这样一种假设，即测量的可变性已经受到新测量设备的引入的影响。
利用Haar小波对数据进行多分辨率分析。
Wt = modwt(nileriverminima，“哈雾”4);Mra = modwtmra(wt，“哈雾”）;
绘制MRA并关注第一级和第二级细节。
图subplot(2,1,1) plot(years,mra(1，:)) title(“一级详情”) subplot(2,1,2) plot(years,mra(2，:)“第二级细节”) AX = gca;斧子。XTick = 622:100:1222;包含(“年”）
对小波系数进行总体方差变化检验。
为pts_Opt = wvarchg(wt(JJ，:)，2);changepoints{JJ} = pts_Opt;结束cellfun (@ (x) ~ isempty (x) changepoints,“大学”, 0)
ans = 1 x5单元阵列{[1]}{[0]}{[0]}{[0]}{[0]}
确定与检测到的方差变化相对应的年份。
年(cell2mat (changepoints))
Ans = 721
将数据分成两个部分。第一部分包括622年到721年，细尺度小波系数表明方差的变化。第二部分包括722年到1284年。获得无偏估计的小波方差的尺度。
Tspre = nileriverminima(1:100);Tspost = nileriverminima(101:end);Wpre = modwt(tspre，“哈雾”4);Wpost = modwt(tpost，“哈雾”4);Wvarpre = modwtvar(wpre，“哈雾”, 0.95,“表”wvarpost = modwtvar(wpost，“哈雾”, 0.95,“表”）
wvarpre = 5x4 table NJ Lower Variance Upper __ ________ ________ _______ D1 99 0.25199 0.36053 0.55846 D2 97 0.15367 0.25149 0.48477 D3 93 0.056137 0.11014 0.30622 D4 85 0.018881 0.047427 0.26453 S4 85 0.017875 0.0449 0.25044 wvarpost = 5x4 table NJ Lower Variance Upper ___ ________ ________ _______ D1 562 0.11394 0.13354 0.15869 D2 560 0.085288 0.10639 0.13648 D3 556 0.0693 0.094168 0.13539 D4 548 0.053644 0.081877 0.14024 S4 548 0.24608 0.37558 0.64329
比较结果。
Vpre = table2array(wvarpre);Vpost = table2array(wvarpost);Vpre = Vpre(1:end-1,2:end);Vpost = Vpost(1:end-1,2:end);Vpre(:，1) = Vpre(:，2)-Vpre(:，1);Vpre(:，3) = Vpre(:，3)-Vpre(:，2);Vpost(:，1) = Vpost(:，2)-Vpost(:，1);Vpost(:，3) = Vpost(:，3)-Vpost(:，2);图errorbar (1:4, Vpre (:, 2), Vpre (: 1), Vpre (:, 3),“柯”，.．.“MarkerFaceColor”，[0 0 0])保持在errorbar (1.5:4.5 Vpost (:, 2), Vpost (: 1), Vpost (:, 3),“b ^”，.．.“MarkerFaceColor”，[0 0 1]) set(gca，“xtick”甘氨胆酸,1.25:4.25)集(,“xticklabel”, {“2年”，“4年”，“八年”，16年的，32年的})网格在ylabel (“方差”)标题(小波方差622-721和722-1284，“字形大小”14)传说(622 - 721年的，722 - 1284年的，“位置”，“东北”）
小波方差表明622-721和722-1284数据在2年和4年尺度上的方差有显著变化。
上面的例子使用了只有两个系数的Haar小波滤波器，因为考虑到相对较小的时间序列(从622-721中提取100个样本)的边界效应。如果你的数据近似一阶或二阶差分平稳，你可以用“反射”边界代替偏估计。这允许你使用更长的小波滤波器而不用担心边界系数。使用默认的“sym4”小波重复分析。
Wpre = modwt(tspre,4，“反射”）;Wpost = modwt(tpost,4，“反射”）;Wvarpre = modwtvar(wpre，[]，[]，“EstimatorType”，“有偏见的”，.．.“边界”，“反射”，“表”）;Wvarpost = modwtvar(wpost，[]，[]，“EstimatorType”，“有偏见的”，.．.“边界”，“反射”，“表”）;
画出结果。
Vpre = table2array(wvarpre);Vpost = table2array(wvarpost);Vpre = Vpre(1:end-1,2:end);Vpost = Vpost(1:end-1,2:end);Vpre(:，1) = Vpre(:，2)-Vpre(:，1);Vpre(:，3) = Vpre(:，3)-Vpre(:，2);Vpost(:，1) = Vpost(:，2)-Vpost(:，1);Vpost(:，3) = Vpost(:，3)-Vpost(:，2);图errorbar (1:4, Vpre (:, 2), Vpre (: 1), Vpre (:, 3),“柯”，“MarkerFaceColor”，[0 0 0])保持在errorbar (1.5:4.5 Vpost (:, 2), Vpost (: 1), Vpost (:, 3),“b ^”，“MarkerFaceColor”，[0 0 1]) set(gca，“xtick”甘氨胆酸,1.25:4.25)集(,“xticklabel”, {“2年”，“4年”，“八年”，16年的，32年的})网格在ylabel (“方差”)标题({小波方差622-721和722-1284；.．.“偏估计—反射边界”}，“字形大小”14)传说(“622 - 721”，“722 - 1284”，“位置”，“东北”)举行从
这一结论得到了加强。数据方差在2年和4年尺度上有显著差异，但在更长的尺度上没有差异。您可以得出结论，过程方差已经发生了一些变化。
在金融时间序列中，您可以使用小波来检测波动率的变化。为了说明这一点，请考虑1974年第一季度至2012年第四季度的美国实际GDP季度链加权数据。数据的转换方法是先取自然对数，然后计算年与年的差异。使用'db2'小波获得真实GDP数据的小波变换(MODWT)，直到第6级。检查数据的方差，并将其与MODWT获得的比例方差进行比较。
负载GDPcomponentsRealgdpwt = modwt(realgdp，“db2”6“反射”）;gddpmra = modwtmra(realgdpwt，“db2”，“反射”）;Vardata = var(实际gdp,1);Varwt = var(realgdpwt(:，1:数字(realgdp))，1,2);
在vardata就得到了GDP时间序列的方差。在varwt就得到了MODWT的比例方差。有七个元素varwt因为你将MODWT降至6级，导致6个小波系数方差和1个比例系数方差。将方差按比例求和，以确保方差不变。忽略标度系数方差绘制小波方差图。
totalMODWTvar = sum(varwt);bar(varwt(1:end-1，:)) AX = gca;斧子。XTickLabels = {“[2 4)”，“[4 8)”，“[8 16)”，“[16个32)”，“64年(32)”，“[64 128)”};包含(“季度”) ylabel (“方差”)标题(“小波尺度方差”）
因为这个数据是季度数据，所以第一个量表捕捉2到4个季度之间的变化，第二个量表捕捉4到8个季度之间的变化，第三个量表捕捉8到16个季度之间的变化，以此类推。
从MODWT和一个简单的条形图中，你可以看到8到32个季度之间的数据周期在GDP数据中占最大的方差。如果你考虑这些尺度上的小波方差，它们占GDP数据变异性的57%。这意味着2至8年期间GDP的波动是时间序列中出现的大部分变化的原因。
画出第一层细节，D1。这些细节捕捉了持续时间在两到四个季度之间的数据波动。
: helperFinancialDataExample1 (gdpmra(1),年,.．.年度美国实际GDP - D1）
检查一级细节，从1980年代开始，方差似乎有所减少。
测试一级小波系数的显著方差变化点。
pts_Opt = wvarchg(realgdpwt(1,1:数字(realgdp))，2);年(pts_Opt)
Ans = 1982
1982年发现了一个方差变点。这个例子没有纠正由'db2'小波在第一级引入的延迟。然而，这种延迟只是两个样本，因此不会明显影响结果。
为了评估1982年前后GDP数据波动的变化，将原始数据分为变化点前后的序列。得到前后数据集的小波变换。在这种情况下，级数相对较短，因此使用Haar小波来最小化边界系数的数量。计算小波方差的无偏估计，并绘制结果。
tspre = realgdp(1:pts_Opt);tpostst = realgdp(pts_Opt+1:end);Wtpre = modwt(tspre，“哈雾”5);Wtpost = modwt(tpost，“哈雾”5);Prevar = modwtvar(wtpre，“哈雾”，“表”）;Postvar = modwtvar“哈雾”，“表”）;Xlab = {“[2 q, 4 q)”，“[4 q, 8 q)”，“[8 q, 16 q)”，“[16 q, 32 q)”，“[32 q 64 q)”};helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“表”xlab)标题(“小波尺度方差”)传说(“1982年之前Q2”，“1982年后第二季”，“位置”，“西北”）
从前面的图表来看，在2到16个季度的尺度上，1982q2之前和1982q2之后的方差之间似乎存在显著差异。
由于本例中的时间序列非常短，因此使用方差的偏估计可能很有用。有偏估计不移除边界系数。使用具有四个系数的“db2”小波滤波器。
Wtpre = modwt(tspre，“db2”5,“反射”）;Wtpost = modwt(tpost，“db2”5,“反射”）;Prevar = modwtvar(wtpre，“db2”, 0.95,“EstimatorType”，“有偏见的”，“表”）;Postvar = modwtvar“db2”, 0.95,“EstimatorType”，“有偏见的”，“表”）;Xlab = {“[2 q, 4 q)”，“[4 q, 8 q)”，“[8 q, 16 q)”，“[16 q, 32 q)”，“[32 q 64 q)”};图helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“表”xlab)标题(“小波尺度方差”)传说(“1982年之前Q2”，“1982年后第二季”，“位置”，“西北”）
结果证实了我们最初的发现，即波动率从2个季度下降到16个季度。
使用小波变换可以让您关注波动率局部变化的尺度。要了解这一点，请检查原始数据的图以及一级小波细节。
次要情节(2,1,1)helperFinancialDataExample1 (realgdp,年,.．.《美国实际GDP同比原始数据》) subplot(2,1,2) helperFinancialDataExample1(gddpmra (1，:)，years，.．.“年比实际美国GDP——小波1级细节”）
阴影区域被称为“大缓和”，表示美国宏观经济波动从20世纪80年代中期开始的一段时期。
从总体数据来看，并不清楚这一时期的波动性实际上有所降低。然而，小波的一级细节揭示了波动率的变化。
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