从系列:在MATLAB求解常微分方程
洛伦兹混沌吸引子是由爱德华•洛伦兹1963年调查时发现大气对流的简化模型。这是一个三个微分方程的非线性系统。最常用的三个参数的值,有两个不稳定的临界点。解决方案金宝搏官方网站仍然有限,但轨道混乱这两点左右。程序“lorenzgui”提供了一个应用程序对洛伦茨吸引子进行调查。结果3 d图看起来就像一只蝴蝶。
洛伦茨奇怪吸引子,也许世界上最著名的和广泛研究常微分方程。他们是由麻省理工学院的数学家和气象学家在1963年发现,爱德华·洛伦茨。他们开始领域的混乱。
他们是著名的,因为他们是对初始条件敏感。小的初始条件的变化有很大的影响的解决方案。洛伦茨以谈论蝴蝶效应。蝴蝶翅膀的拍打能如何影响天气。
一只蝴蝶飞在巴西会引起龙卷风和德州是他演讲的艳丽的版本。方程几乎是线性的。这里有两个二次项。流体流动的方程的模型。地球的大气层是一种流体。
但这一系列的参数,这三个参数,σ,ρ,和β,这些都在这个范围之外,实际上代表了地球的大气层。我们要看看这些参数。这些是最常用的参数。
但我们要感兴趣其他的ρ值。但是我一个矩阵的家伙,所以我喜欢写这种形式的方程。Y·=唉。它看起来线性除了取决于y。所以y2, y的第二个组件,出现在矩阵A。
这有助于我学习这种形式的微分方程。这个矩阵形式方便找到临界点。把一个参数埃塔在y2的地方。试图让矩阵奇异。当etaβ倍根号ρ- 1。
然后零向量是临界点。如果我们把这个向量作为解决方案的初始值,那么解决方案保持在那里。Y '是0。这是一个不稳定的临界点。这个解决方案偏离附近和价值观的解决方案。不会呆在解决方案。
2014年5月,我写了一系列和博客在克里夫的角落MATLAB常微分方程套件。我使用了洛伦茨吸引子为例。包括一个叫做洛伦兹图的程序,我想在这里使用。
这是洛伦兹的阴谋。设置参数。设置的初始值矩阵a是临界点。这是一个初始值在临界点附近。整合从0到30。使用ODE 23。给它一个名为洛伦茨方程的函数。
捕获t、y值,然后画出解决方案。我要做三个组件的情节互相抵消。这是一个内部函数洛伦茨方程称为颂歌23。它不断,每次调用时,它修改矩阵与y2的新值更新它。
让我们运行这个函数。这是输出。这是洛伦茨吸引子的三个组件。时间序列是t的函数。很难看到发生了什么,除了说他们开始他们的初始值,周围摆动,通过一段时间,然后开始偏离。
很难看到他们在做什么。他们只是以不可预知的方式摆动。我们需要另一个图形看到到底发生了什么。我想写一个程序被称为洛伦兹GUI。洛伦茨图形用户界面。我的老书叫这个是与MATLAB数值计算,不合格品。
好吧,我点击开始按钮。这里有绿色的两个临界点。我们开始在临界点附近。我们摆动的临界点。这是轨道。这只是来回。它绕一个临界点然后决定去振荡,振荡在另一段时间。
它继续在这样的永远。这不是周期性的。它从不重复。现在,蝴蝶与洛伦兹在两个方面。一个是天气的蝴蝶效应。同时,这个情节看起来像一只蝴蝶。我可以抓住这个鼠标和在三维空间中旋转。
所以我可以得到不同的轨道。它仍然是被计算的。我们添加越来越多的情节。我可以从不同的观点得到一些概念这是如何在三维空间中进行。它几乎生活在两个维度,但不完全是。
早些时候,我们看到的解决方案,与周期解微金宝搏官方网站分方程。在这里,这不是周期性的。就这样,直到永远。现在,这是完美的——这并不是随机的。这是完全由初始条件确定的。
如果我开始它一次又一次与准确的条件下,与准确的初始条件,我得到这一行为。但这是不可预测的。很难说这是要到哪里去。我可以清晰的看到轨道继续发展。按下停止。
现在我有一个选择。这里的下拉菜单允许我选择其他的ρ值。28ρ的值是几乎总是学习,但有一本书由科林麻雀,我在我的博客中引用洛伦茨方程周期解。金宝搏官方网站
让我们把另一个值。让我选择ρ= 160和清晰和重启。现在,经过一个初始瞬态,现在这是周期性的。所以这不是混乱。这是一个周期解。
和其他的ρ值,而不是ρ= 28日,这是混乱的,但是其他的ρ值给周期解与不同的性格。金宝搏官方网站长,有趣的故事,我在我的博客谈论后麻雀的工作。
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