矩阵代数复习- MATLAB和Simulink MathWorks西班牙金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

矩阵代数复习

介绍

解释在下面几节中应该帮助刷新你的技能使用矩阵代数,并使用MATLAB^®功能。

此外,Macro-Investment分析威廉·夏普还提供了一个很好的解释使用MATLAB矩阵代数操作。可以在网上:

https://www.stanford.edu/ wfsharpe /米娅/ mia.htm

提示

当你设置一个问题,它有助于“讨论”的单位和维度与每个输入和输出关联矩阵。在这个例子矩阵乘法,一个输入矩阵有五天的收盘价三股,其他输入矩阵有三股的股价在两个组合,因此输出矩阵有五天的闭值两个组合。它还有助于使用描述性术语命名变量。

矩阵加减

矩阵加法和减法操作中的元素。两个输入矩阵必须有相同的尺寸。结果是一个新的矩阵相同的尺寸,每个元素的总和或区别每个对应的输入元素。例如,考虑结合不同数量的股票投资组合的(“股份股票的A、B和C(行)在组合P和Q(列)+股票,B和C组合R和S”)。

Portfolios_PQ = (100 200 500 400 300 150);Portfolios_RS = (175 125 200 200 100 500);NewPortfolios = Portfolios_PQ + Portfolios_RS

NewPortfolios = 275 325 700 600 400 650

添加或减去一个标量和允许一个矩阵以及运营中的元素。

SmallerPortf = NewPortfolios-10

SmallerPortf = 265.00 315.00 690.00 - 590.00 390.00 - 640.00

矩阵乘法

矩阵乘法是不中的元素进行操作。它是根据线性代数的规则。在矩阵乘法,它有助于记住这个关键规则:内部尺寸必须相同。也就是说,如果第一个矩阵米——- - - - - -3,第二个必须3——- - - - - -n。由此产生的矩阵是米——- - - - - -n。它也有助于“讨论”的单位矩阵,如前所述分析组数据使用矩阵函数。

矩阵乘法也是不可交换的;也就是说,它不是独立的。A * B并不等于B *。维规则说明了这个属性。如果是1——- - - - - -3矩阵和B是3——- - - - - -1矩阵,A * B产生一个标量(1——- - - - - -1但B *收益率)矩阵3——- - - - - -3矩阵。

向量相乘

向量乘法遵循相同的规则,帮助说明的原则。例如,一个股票投资组合有三个不同的股票和他们今天收盘价格:

ClosePrices = 15 78.875 [42.5]

每个股票的投资组合包含了这些数字。

NumShares = (100 500 300)

找到投资组合的价值,乘以向量

PortfValue = ClosePrices * NumShares

收益率:

PortfValue = 3.5413 e + 004

向量是1——- - - - - -3和3——- - - - - -1;由此产生的向量1——- - - - - -1一个标量。这些向量从而意味着乘以每个收盘价乘以各自的数量的股票并求和结果。

为了说明顺序依赖,开关的顺序向量

值= NumShares * ClosePrices

值= 1.0 e + 004 * 0.4250 0.1500 0.7887 2.1250 0.7500 3.9438 1.2750 0.4500 2.3663

显示最后的值100、500和300股股票,而不是投资组合价值,这是毫无意义的对于这个示例。

计算向量的点积下载188bet金宝搏

在矩阵代数,如果X和Y向量长度相同的吗

$\begin{matrix} Y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}] \\ X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] \end{matrix}$

然后点积

$X \cdot Y = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$

是两个向量的标量积。这是交换律规则的例外。在MATLAB计算点积,使用总和(X, Y)或总和(Y。* X)。确保两个向量具有相同的尺寸。为了说明这一点,使用前面的向量。

值= (NumShares。* ClosePrices”)

值= 3.5413 e + 004

值= (ClosePrices。* NumShares”)

值= 3.5413 e + 004

正如预期的那样,在这些情况下匹配的值PortfValue计算。

向量和矩阵相乘

乘以向量和矩阵是矩阵乘法规则和过程。例如,一个投资组合矩阵包含收盘价一周。第二个矩阵(向量)包含在投资组合的股票数量。

WeekClosePr = 15 [42.5 78.875 42.125 15.5 78.75 42.125 15.125 79 42.625 15.25 78.875 15.25 - 78.625);PortQuan = (100 500 300);

每天看到最后组合值,简单的乘法

WeekPortValue = WeekClosePr * PortQuan

WeekPortValue = 1.0 e + 004 * 3.5412 3.5587 3.5475 3.5550 3.5513

价格矩阵5——- - - - - -3,数量矩阵(向量)3——- - - - - -1,所以由此产生的矩阵(向量)5——- - - - - -1。

两个矩阵相乘

矩阵乘法也遵循矩阵代数的规则。在矩阵代数符号,如果一个是一个米——- - - - - -n矩阵和B是一个n——- - - - - -p矩阵

$一个 = (\begin{matrix} {一个}_{11} & {一个}_{12} & \dots & {一个}_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {一个}_{我 1} & {一个}_{我 2} & \dots & {一个}_{我 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {一个}_{米 1} & {一个}_{米 2} & \dots & {一个}_{米 n} \end{matrix}], B = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 j} & \dots & b_{1 p} \\ b_{21} & \dots & b_{2 j} & \dots & b_{2 p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n j} & \dots & b_{n p} \end{matrix}]$

然后C =一个*B是一个米——- - - - - -p矩阵;和元素c_ij在我th行和jth列C是

$c_{我 j} = {一个}_{我 1} b_{1 j} + {一个}_{我 2} b_{12} + \dots + {一个}_{我 n} b_{n j} 。$

为了说明这一点,假设有两种投资组合相同的三股前面提到的但有不同的数量。

投资组合= (100 200 500 400 300 150);

乘的5——- - - - - -3上周的收盘价矩阵的3——- - - - - -2投资组合矩阵的收益率5——- - - - - -2矩阵显示每天的收盘值组合。

PortfolioValues = WeekClosePr *组合

PortfolioValues = 1.0 e + 004 * 3.5412 2.6331 3.5587 2.6437 3.5475 2.6325 3.5550 2.6456 3.5513 2.6494

周一的价值观源于每个周一收盘价乘以各自的数量的股票并求和结果第一组合,然后做同样的第二个投资组合。周二的价值观源于每个周二收盘价乘以各自的数量的股票并求和结果第一组合,然后做同样的第二个投资组合。等等,通过剩下的星期。用一个简单的命令,MATLAB快速执行许多计算。

一个矩阵乘以一个标量

一个矩阵乘以一个标量是一个例外的维度和交换规则。它只是经营中的元素。

投资组合= (100 200 500 400 300 150);DoublePort =组合* 2

DoublePort = 200 400 1000 800 600 300

划分矩阵

矩阵分裂是有用的主要求解方程,特别是求解线性方程组(见求解线性方程组)。例如,你想解出X在一个*X=B。

在普通代数方程的两边一个,X就等于B / A。然而,由于矩阵代数不是交换(一个*X≠X*一),适用不同的过程。在正式矩阵代数,解决方案涉及矩阵求逆。MATLAB,然而,简化了过程通过提供两个矩阵分裂符号,左和右(\和/)。一般来说,

X = A \ B解决了的X在一个*X = B和

X = B / A解决了的X在X*A = B。

一般来说,矩阵一个必须是一个满秩方阵;也就是说,它必须是可逆的,它必须有相同数量的行和列。(一般来说,一个矩阵是可逆的,如果矩阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵。了解理论和证据,咨询等线性代数教科书初等线性代数由山中列出参考书目)。MATLAB给出一个警告消息,如果矩阵是奇异的或几乎如此。

求解线性方程组

矩阵部门在解决线性方程组时特别有用。考虑这个问题:给定两个抵押贷款工具的投资组合,每个都有特定的产量取决于最优惠利率,你怎么重量组合实现某些年度现金流?答案涉及到解决两个线性方程。

一个线性方程是任何形式的方程

${一个}_{1} x + {一个}_{2} y = b,$

在哪里一个₁,一个₂,b是常数(一个₁和一个₂不是两个0),x和y是变量。(它是一个线性方程,因为它描述的线xy飞机。例如,方程2x+y这样,如果= 8描述了一条线x= 2,然后y= 4)。

线性方程组是一组线性方程,你通常要解决在同一时间;同时,。确切答案的基本原则在解决线性方程组要求有尽可能多的方程有未知数。得到确切的答案x和y,必须有两个方程。例如,解出x和y在线性方程组

$\begin{matrix} 2 x + y = 13 \\ x - 3 y = - 18, \end{matrix}$

必须有两个方程,有。矩阵代数表示该系统作为一个涉及三个矩阵方程:一个左侧的常数,X变量,和B右侧的常量

$一个 = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{matrix}], X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}], B = (\begin{matrix} 13 \\ - 18 \end{matrix}],$

在哪里一个*X=B。

解决系统同时意味着解决X。使用MATLAB,

一个= (2 1 1 3);B = (-18);

X = A \ B

解决了的X在A * X =。

7 X = [3]

所以x= 3,y在本例中= 7。一般来说,您可以使用矩阵代数解决任何线性方程组等

$\begin{matrix} {一个}_{11} x_{1} + {一个}_{12} x_{2} + \dots + {一个}_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ {一个}_{21} x_{1} + {一个}_{22} x_{2} + \dots + {一个}_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ {一个}_{米 1} x_{1} + {一个}_{米 2} x_{2} + \dots + {一个}_{米 n} x_{n} = b_{米} \end{matrix}$

由代表矩阵

$一个 = (\begin{matrix} {一个}_{11} & {一个}_{12} & \dots & {一个}_{1 n} \\ {一个}_{21} & {一个}_{22} & \dots & {一个}_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {一个}_{米 1} & {一个}_{米 2} & \dots & {一个}_{米 n} \end{matrix}], X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}], B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{米} \end{matrix}]$

和解决X在一个*X=B。

为了说明这一点,考虑这种情况。有两种投资组合受抵押贷款工具,狭义货币供应量M1及广义货币供应量M2。他们当前的年度单位现金支付的100美元和70美元,分别基于今天的优惠利率。如果优惠利率下降了百分之一,他们支付80美元,40美元。一个投资者持有10单位M1和20平方米的单位。投资者的收入等于现金支付乘以单位,或R = C * U,每个优惠利率的场景。词方程:

	M1	平方米
主要平面:	100美元* 10单位	+ 70 * 20单位= 2400美元收入
':	80美元* 10单位	+ $ 40 * 20单位= 1600美元收入

MATLAB矩阵:

现金= (100 70 80 40);单位= 20 [10];收入=现金*单位

收入= 2400 1600

现在投资者问这个问题:鉴于这两个组合及其特征,有多少单位的每一个他们应该坚持获得7000美元如果优惠利率保持不变和5000美元的下降百分之一?找到答案,解决两个线性方程。

	M1	平方米
主要平面:	100美元*x单位	+ 70 *y单位收入= 7000美元
':	80美元*x单位	+ 40美元*y单位收入= 5000美元

换句话说,你(单位)的解决方程R(收入)= C(现金)*你(单位)。使用MATLAB左部

现金= (100 70 80 40);收入= (7000 - 5000);单位\ =现金收据

单位= 43.7500 - 37.5000

投资组合的投资者应该持有43.75个单位M1和37.5单位的组合M2来实现所需的年度收入。

操作元素的元素

最后,中的元素的算术操作被称为操作。来表示一个MATLAB数组操作,之前一段时间的操作符(。)。加法和减法,矩阵乘法和除法的标量,已经数组操作所以没有时间是必要的。当使用数组操作在两个矩阵,矩阵的尺寸必须相同。例如,给定向量的股票股息和收盘价

股息= (1.90 - 0.40 1.56 - 4.50);价格= (25.625 - 17.75 26.125 - 60.50);收益率=股息。/价格

收益率= 0.0741 0.0225 0.0597 0.0744