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选择一个ODE求解器

常微分方程

一个常微分方程（ode）包含从属变量的一个或多个衍生物，y，关于单个独立变量，T.，通常称为时间。这里用来表示的导数的符号y关于T.是 $y'$ 对于第一个衍生， $y''$ 对于二阶导数，等等。的命令ode等于最级的衍生物y这在等式中出现。

例如，这是二阶ode：

$y'' = 9. y$

在A.初值问题， ODE从初始状态开始求解。利用初始条件， $y_{0.}$ ，以及需要一段时间才能得到答案， $（ {T.}_{0.} 那 {T.}_{F} ）$ ，迭代求解。在每一步，求解器都对前一步的结果应用特定的算法。在这样的第一步，初始条件提供了必要的信息，允许进行集成。最后的结果是ODE求解器返回一个时间步长的向量 $T. = [{T.}_{0.} 那 {T.}_{1} 那 {T.}_{2} 那．.. 那 {T.}_{F}]$ 以及每个步骤的相应解决方案 $y = [y_{0.} 那 y_{1} 那 y_{2} 那．.. 那 y_{F}]$ ．

odes的类型

MATLAB中的ODE求解器^®解决这些类型的一阶ode:

表格的明确杂志 $y' = F （ T. 那 y ）$ ．
形式的线性隐式杂志 $m （ T. 那 y ） y' = F （ T. 那 y ）$ ,在那里 $m （ T. 那 y ）$ 是一个非奇异质量矩阵。质量矩阵可以是与时间或状态相关的，也可以是常数矩阵。线性隐式ode涉及的是的一阶导数的线性组合y，其在质量矩阵中编码。
线性隐式ode总是可以转化为显式形式， $y' = m^{- 1} （ T. 那 y ） F （ T. 那 y ）$ ．但是，将质量矩阵直接指定给颂歌求解器避免这种变换，这是不方便的，并且可以计算得昂贵。
如果某些成分 $y'$ 是缺失的，那么方程被调用了差分代数方程式或daes，daes系统包含一些代数变量．代数变量是方程中没有导数的因变量。通过对方程组求导，消去代数变量，可将一阶ode方程组改写为一阶ode的等价方程组。将DAE重写为ODE所需的导数数称为微分索引。的ode15s.和ODE23T.求解器可以解决index-1 dae。
表格的完全隐含杂志 $F （ T. 那 y 那 y' ） = 0.$ ．完全隐式ode不能以显式形式重写，可能还包含一些代数变量。的ode15i.求解器专为完全隐含的问题而设计，包括索引-1 daes。

属性可以为某些类型的问题的求解器提供附加信息odeset函数创建一个选项结构。

杂井系统

您可以指定任意数量的耦合ODE方程来求解，原则上，方程的数量只受可用计算机内存的限制。如果方程组有N方程,

$（ \begin{matrix} y'_{1} \\ y'_{2} \\ ⋮ \\ y'_{N} \end{matrix} ） = （ \begin{matrix} F_{1} （ T. 那 y_{1} 那 y_{2} 那．.. 那 y_{N} ） \\ F_{2} （ T. 那 y_{1} 那 y_{2} 那．.. 那 y_{N} ） \\ ⋮ \\ F_{N} （ T. 那 y_{1} 那 y_{2} 那．.. 那 y_{N} ） \end{matrix} ）那$

然后编码等式的函数返回向量N元素，对应于 $y'_{1} 那 y'_{2} 那 ...... 那 y'_{N}$ ．例如，考虑二元方程组

${\begin{cases} y'_{1} = y_{2} \\ y'_{2} = y_{1} y_{2} - 2 ． \end{cases}$

编码这些方程的函数是

功能Dy = Myode（T，Y）Dy（1）= Y（2）;DY（2）= Y（1）* Y（2）-2;结尾

高阶余下

MATLAB ode求解器仅解决一阶方程。您必须使用通用替换将更高阶odes作为等效的一阶方程式重写

$\begin{array}{l} y_{1} = y \\ y_{2} = y' \\ y_{3.} = y'' \\ ⋮ \\ y_{N} = y^{（ N - 1 ）} ． \end{array}$

这些替换的结果是一个N一阶方程

${\begin{cases} y'_{1} = y_{2} \\ y'_{2} = y_{3.} \\ ⋮ \\ y'_{N} = F （ T. 那 y_{1} 那 y_{2} 那．.. 那 y_{N} ）． \end{cases}$

例如，考虑三阶ODE

$y''' - y'' y + 1 = 0.$

使用替换

$\begin{array}{l} y_{1} = y \\ y_{2} = y' \\ y_{3.} = y'' \end{array}$

结果是等价的一阶系统

${\begin{cases} y'_{1} = y_{2} \\ y'_{2} = y_{3.} \\ y'_{3.} = y_{1} y_{3.} - 1. \end{cases}$

然后，该方程式系统的代码

功能y(1) = y(2);dydt (2) = y (3);dydt (3) = y y (3) (1) * 1;结尾

复杂的常微分方程

考虑复杂的ode方程

$y' = F （ T. 那 y ）那$

在哪里 $y = y_{1} + 一世 y_{2}$ ．求解时，将实部和虚部分离成不同的解分量，最后将结果重新组合。概念上，这看起来像

$\begin{array}{l} y V. = [真实的（ y ）想象（ y ）] \\ F V. = [真实的（ F （ T. 那 y ））想象（ F （ T. 那 y ））] ． \end{array}$

例如，如果ODE是 $y' = y T. + 2 一世$ ，然后您可以使用函数文件表示方程式：

功能f = complexf（t，y）f = y。* t + 2 * i;结尾

然后，分离实部和虚部的代码是

功能fv = imageindeode（t，yv）%由实分量和虚分量构造yY = yv(1) + i*yv(2);%计算函数值yp = complexf (t、y);%分别返回实值和虚值阵线=[真实(yp);图像放大(yp)];结尾

运行求解器以获取解决方案时，初始条件y0也分为实部和虚部，为每个解分量提供一个初始条件。

y0 = 1 + i;yv0 =[真实(y0);图像放大(y0)];Tspan = [0 2];[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

获取解决方案后，将真实和虚部组件组合在一起，以获得最终结果。

Y = yv（：，1）+ i * yv（:,2）;

基本求解器的选择

数值在大多数ODE问题中表现良好，通常应该是您的首选解算器。然而,ode23.那ode78那ode89和ode113可以比效率更高数值对于宽松或更严格的准确度要求的问题。

一些ODE问题刚性，或评价困难。刚度是一个无法精确定义的术语，但一般来说，当问题中某个地方的缩放存在差异时，刚度就会出现。例如，如果一个ODE有两个解组件，它们在完全不同的时间尺度上变化，那么这个方程可能是僵硬的。如果一个问题不是僵硬的解决者(例如数值）无法解决问题或极慢。如果您观察到非任命的求解器非常慢，请尝试使用僵硬的求解器，例如ode15s.代替。当使用刚性求解器时，您可以通过提供雅可比矩阵或其稀疏模式来提高可靠性和效率。

该表提供了关于何时使用每个不同求解器的一般指南。

解算器	问题类型	精度	什么时候使用
`数值`	该方法	媒介	大多数时候。`数值`应该是你第一个尝试解决问题的人。
`ode23.`		低	`ode23.`可以比效率更高`数值`在粗公差或中度硬度存在的问题上。
`ode113`		从低到高	`ode113`可以比效率更高`数值`在有严格的误差容忍度的问题上，或者当ODE函数的计算代价很高时。
`ode78`		高	`ode78`可以比效率更高`数值`处理具有高精度要求的平滑解决方案的问题。金宝搏官方网站
`ode89`		高	`ode89`可以比效率更高`ode78`在非常平滑的问题上，在整合长时间间隔时，或者当公差尤为严格时。
`ode15s.`	僵硬的	低至中等	尝试`ode15s.`当`数值`失败或效率低下，你怀疑问题是僵硬的。也使用`ode15s.`当求解差分代数方程（Daes）时。
`ode23s.`		低	`ode23s.`可以比效率更高`ode15s.`在粗公差问题上。它可以解决一些棘手的问题`ode15s.`无效。 `ode23s.`计算每一步的雅可比矩阵，因此通过提供雅可比矩阵是有益的`odeset`最大限度地提高效率和准确性。如果有质量矩阵，它一定是常数。
`ODE23T.`		低	用`ODE23T.`如果问题只是中等刚度，你需要一个没有数值阻尼的解。 `ODE23T.`可以解决差分代数方程（DAES）。
`ODE23TB.`		低	就像`ode23s.`，这`ODE23TB.`求解器可能比效率更高`ode15s.`在粗公差问题上。
`ode15i.`	完全隐含	低	用`ode15i.`有关完全隐含的问题f (t、y, y”)=0.对于索引1的差分代数方程（Daes）。

有关何时使用每个求解器的详细信息和进一步建议，请参见[5]．

ODE示例和文件的摘要

有几个示例文件可以作为大多数ODE问题的极佳起点。运行微分方程示例应用程序，它可以让你轻松地探索和运行示例，输入

odeexamples

要打开单独的示例文件进行编辑，输入

编辑examplefilename.m.

要运行示例，输入

exampleFileName

该表包含可用的ODE和DAE示例文件的列表，以及它们使用的求解器和选项。文档中还包含了直接发布的示例子集的链接。

示例文件	求解器使用	指定的选项	描述	文档链接
`amp1dae`	`ODE23T.`	`'大量的'`	刚性DAE -具有常数奇异质量矩阵的电路	解决硬晶体管差分代数方程
`鲍`	`ode23.`	`'事件'` `“OutputFcn”` `“OutputSel”` `“完善”` `'initalstep'` `'maxstep'`	简单的事件地点-弹跳球	歌唱活动的位置
`Batonode.`	`数值`	`'大量的'`	带有与时间和状态相关的质量矩阵运动的棒的ODE	抛掷棒的运动方程的求解
`brussode`	`ode15s.`	`'jpattern'` `'矢量化'`	棘手的大问题——化学反应中的扩散(布鲁塞尔)	解决刚性常微分方程
`博尔斯德`	`ode15s.`	`'大量的'` `'mstatedependence'` `'jpattern'` `'mvpattern'` `'Reltol'` `'ABSTOL'`	采用移动网格技术求解了具有强状态依赖质量矩阵的ODE - Burgers方程	用强状态相关质量矩阵求解ODE
`fem1ode`	`ode15s.`	`'大量的'` `'mstatedependence'` `的雅可比矩阵`	含时质量矩阵的刚性问题-有限元法	-
`fem2ode`	`ode23s.`	`'大量的'`	用定质量矩阵-有限元法求解刚性问题	-
`HB1DE.`	`ode15s.`	-	僵硬的颂歌问题在很长的间隔 - 罗伯逊化学反应中得到解决	-
`hb1dae`	`ode15s.`	`'大量的'` `'Reltol'` `'ABSTOL'` `'矢量化'`	刚性，线性隐式DAE来自守恒定律-罗伯逊化学反应	用半显式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`ihb1dae`	`ode15i.`	`'Reltol'` `'ABSTOL'` `的雅可比矩阵`	僵硬，完全隐含的DAE - 罗伯逊化学反应	用隐式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`iburgersode`	`ode15i.`	`'Reltol'` `'ABSTOL'` `的雅可比矩阵` `'jpattern'`	隐式ODE系统- Burgers方程	-
`kneeode.`	`ode15s.`	`非负的`	具有非承诺约束的“膝关节问题”	非负颂歌解决方案
`orbitode`	`数值`	`'Reltol'` `'ABSTOL'` `'事件'` `“OutputFcn”`	高级事件位置 - 限制三个身体问题	歌唱活动的位置
`rididode.`	`数值`	-	非符合问题 - 没有外力的刚体的欧拉方程	解决非任足的杂物
`VDPode.`	`ode15s.`	`的雅可比矩阵`	可参数化范德波尔方程(对于大的刚性μ）	解决刚性常微分方程