被动的指数

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这个例子展示了如何计算各种措施线性定常系统的被动。

被动系统

一个线性系统G (s)是被动当所有I / O轨迹<年代pan class="inlineequation"> $(u (t), y (t))$ 满足

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $y^{T} (t)$ 表示的转置<年代pan class="inlineequation"> $y (t)$ 。

衡量“被动”系统,我们使用被动的指数。

输入被动指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 这样

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > ν \int_{0}^{T} u^{T} (t) u (t) d t$

系统G (ISP)当输入严格被动<年代pan class="inlineequation"> $ν > 0$ 。<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 也被称为“输入前馈被动”(奖学金)指数和对应于最低前馈行动需要使系统被动。

输出被动指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 这样

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > ρ \int_{0}^{T} y^{T} (t) y (t) d t$

系统G是“严格无源输出”(OSP)<年代pan class="inlineequation"> $ρ > 0$ 。<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 也被称为“输出反馈被动”(游戏)指数和对应于所需的最小反馈作用使系统被动。

I / O被动指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > τ \int_{0}^{T} (u^{T} (t) u (t) + y^{T} (t) y (t)) d t$

该系统是“非常严格无源”(VSP)<年代pan class="inlineequation"> $τ > 0$ 。

电路的例子

考虑下面的例子。我们当前的<年代pan class="inlineequation"> $我$ 作为输入电压<年代pan class="inlineequation"> $V$ 作为输出。根据基尔霍夫电流和电压定律,我们得到的传递函数<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ ,

$G (年代) = \frac{V (年代)}{我 (年代)} = \frac{(l 年代 + R) (R 年代 + \frac{1}{C})}{l {年代}^{2} + 2 R 年代 + \frac{1}{C}} 。$

让<年代pan class="inlineequation"> $R = 2$ ,<年代pan class="inlineequation"> $l = 1$ 和<年代pan class="inlineequation"> $C = 0 。 1$ 。

R = 2;L = 1;C = 0.1;s =特遣部队(<年代pan style="color:#A020F0">“年代”);G = (L * s + R) * (R * s + 1 / C) / (L * ^ 2 + 2 * R *年代+ 1 / C);

使用isPassive检查是否<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 是被动的。

PF = isPassive (G)

PF =<年代pan class="emphasis">逻辑1

自从PF = true,<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 是被动的。使用getPassiveIndex计算被动的指数<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 。

%输入被动指数ν= getPassiveIndex (G,<年代pan style="color:#A020F0">“在”)

ν= 2

%输出被动指数ρ= getPassiveIndex (G,<年代pan style="color:#A020F0">“出”)

ρ= 0.2857

% I / O被动指数τ= getPassiveIndex (G,<年代pan style="color:#A020F0">“输入输出”)

τ= 0.2642

自<年代pan class="inlineequation"> $τ > 0$ ,系统<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 非常严格的被动。

频域特性

一个线性系统是被动当且仅当它是真正“积极”:

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0 \forall ω \in R 。$

小的最小特征值与输入被动指数<年代pan class="inlineequation"> $ν$ :

$ν = \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} (G (j ω) + G^{H} (j ω))$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $λ_{最小值}$ 表示最小的特征值。同样的,当<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 是最小相位,输出被动指数是由:

$ρ = \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} (G^{- - - - - - 1} (j ω) + G^{- - - - - - H} (j ω)) 。$

验证电路的例子。情节的奈奎斯特图电路传递函数。

尼奎斯特(G)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象。这个对象表示G。

整个尼奎斯特图位于右半边的飞机<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 是正的真实。奈奎斯特曲线是最左边的点<年代pan class="inlineequation"> $(x, y) = (2, 0)$ 所以输入被动指数<年代pan class="inlineequation"> $ν = 2$ ,我们之前获得相同的值。同样,最左边的点的奈奎斯特曲线<年代pan class="inlineequation"> $G^{- - - - - - 1} (年代)$ 给出了被动索引值的输出<年代pan class="inlineequation"> $ρ = 0 。 286$ 。

相对被动指标

它可以表明“积极真实”条件

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0 \forall ω \in R$

相当于小增益条件

$| | (我 - - - - - - G (j ω)) (我 + G (j ω))^{- - - - - - 1} | | < 1 \forall ω \in R 。$

相对被动指数(r指标)是在频率峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $(我 - - - - - - G) (我 + G)^{- - - - - - 1}$ 当<年代pan class="inlineequation"> $我 + G$ 是最小相位的,<年代pan class="inlineequation"> $+ \infty$ 否则:

$R = {为 (我 - - - - - - G) (我 + G)^{- - - - - - 1} 为}_{\infty} 。$

在时域中,r指标是最小的<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样

$\int_{0}^{T} | | y - - - - - - u | |^{2} d t < r^{2} \int_{0}^{T} | | y + u | |^{2} d t$

该系统<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 是被动的,当且仅当吗<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ ,小<年代pan class="inlineequation"> $R$ ,越被动系统。使用getPassiveIndex电路的r指标计算的例子。

R = getPassiveIndex (G)

R = 0.5556

由此产生的<年代pan class="inlineequation"> $R$ 值表示的电路是一个非常被动的系统。

引用

[1],M。,P. Gahinet, N. Abroug, C. Buhr, and E. Laroche. “Sector Bounds in Stability Analysis and Control Design.”国际期刊的健壮和非线性控制30日,没有。18日(2020年12月):7857 - 82。https://doi.org/10.1002/rnc.5236。

另请参阅

getPassiveIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">isPassive