估计条件均值和方差模型

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这个例子展示了如何估计一个组合的条件均值和方差模型使用估计．

加载和预处理数据

加载计量经济学工具箱™中包含的纳斯达克数据。将每日收盘价综合指数系列转换为回报系列。为了数值稳定，将收益转换为百分比收益。

负载Data_EquityIdx纳斯达克= dattable . nasdaq;R = 100*price2ret(纳斯达克);T =长度(r);

创建模型模板

创建一个AR(1)和GARCH(1,1)复合模型，其中具有表单

$r_{t} = c + ϕ_{1} r_{t - 1} + ε_{t} ，$

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} ，$

在哪里 $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ 而且 $z_{t}$ 为iid标准化高斯过程。

VarMdl = garch(1,1)

描述:“garch(1,1)条件方差模型(高斯分布)”分布:名称= "高斯" P: 1 Q: 1常量:NaN GARCH: {NaN} at lag [1] ARCH: {NaN} at lag[1]偏移量:0

Mdl = arima(“ARLags”, 1“方差”VarMdl)

Mdl = arima属性:描述:“arima(1,0,0)模型(高斯分布)”分布:名称= "高斯" P: 1 D: 0 Q: 0常数:NaN AR: {NaN}滞后[1]SAR: {} MA: {} SMA:{}季节性:0 Beta: [1×0]方差:[GARCH(1,1)模型]

Mdl是一个华宇电脑用于估计的模型模板。南的值性质Mdl而且VarMdl对应复合模型中未知的、可估计的系数和方差参数。

估计模型参数

将模型与返回序列拟合r通过使用估计．

EstMdl =估计(Mdl,r);

ARIMA(1,0,0)模型(高斯分布):Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.072632 0.018047 4.0245 5.7087e-05 AR{1} 0.13816 0.019893 6.945 3.7848e-12 GARCH(1,1)条件方差模型(高斯分布):Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.022377 0.0033201 6.7399 1.5851e-11 GARCH{1} 0.87312 0.0091019 95.927 0 ARCH{1} 0.11865 0.008717 13.611 3.434e-42

EstMdl是完全指定的华宇电脑模型。

估计显示显示了五个估计参数及其相应的标准误差(AR(1)条件均值模型有两个参数，GARCH(1,1)条件方差模型有三个参数)。

拟合模型(EstMdl)是

$r_{t} = 0 ． 07 3. + 0 ． 1 3. 8 r_{t - 1} + ε_{t} ，$

$σ_{t}^{2} = 0 ． 022 + 0 ． 87 3. σ_{t - 1}^{2} + 0 ． 119 ε_{t - 1}^{2} ．$

所有 $t$ 统计值大于2，说明所有参数具有统计学意义。

动态模型需要预样本观测数据，用于初始化模型。如果您不指定预样本观测值，估计默认生成。

推断条件方差和残差

推断并绘制条件方差和标准化残差。输出对数似然目标函数值。

[res,v,logL] = infer(EstMdl,r);图subplot(2,1,1) plot(v) xlim([0,T])“有条件的差异”次要情节(2,1,2)情节> /√(v) xlim ([0, T])标题(标准化残差的）

图中包含2个轴对象。标题为“条件方差”的Axes对象1包含一个line类型的对象。标题为“标准化残差”的Axes对象2包含一个类型为line的对象。

观察2000年后，条件方差增加。这一结果与原始收益系列中出现的波动性增加相对应。

在标准正态分布下，标准化残差具有比预期更大的值(绝对值大于2或3)。这个结果表明学生的 $t$ 分布可以更适合于创新分布。

拟合模型t创新分布

创建一个模型模板Mdl，并指定其创新有一个学生 $t$ 分布。

MdlT = Mdl;MdlT。分布=“t”；

MdlT有一个额外的参数估计: $t$ 分布自由度。

将新模型拟合到纳斯达克收益系列中。指定方差模型常数项的初始值。

方差0 = {“Constant0”0.001};EstMdlT =估计(MdlT,r，“Variance0”, Variance0);

ARIMA(1,0,0)模型(t分布):Value standderror TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.093488 0.016694 5.6002 2.1414e-08 AR{1} 0.13911 0.018857 7.3771 1.6175e-13 DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4126e-17 GARCH(1,1)条件方差模型(t分布):值standderror TStatistic PValue ________ _____________ __________ __________ Constant 0.011246 0.0036305 3.0976 0.0019511 GARCH{1} 0.90766 0.010516 86.315 0 ARCH{1} 0.089897 0.010835 8.2966 1.0712e-16 DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4126e-17

之间的系数估计EstMdl而且EstMdlT略有不同。自由度估计相对较小(约为8)，这表明显著偏离正态。

比较模型拟合

总结估计模型。从总结中得到估计参数的个数和第二次拟合的对数似然目标函数值。

Summary = Summary (EstMdl);SummaryT = summary (EstMdlT);numparams = Summary.NumEstimatedParameters;numparamsT = summary . numestimatedparameters;logLT = summary . loglikelihood;

比较两种模型的拟合(高斯和 $t$ 创新分布)采用赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)。

[numparams numparamsT]

ans =1×25个6

[aic,bic] = aicbic([logL logLT]，[numparams numparamsT]，T)

aic =1×210^3.× 9.4929 9.3807

bic =1×210^3.× 9.5230 9.4168

第一个模型有六个拟合参数，而第二个模型有六个(因为它包含 $t$ 分布自由度)。尽管存在这种差异，但两种信息标准都倾向于学生的模型 $t$ 创新分布，因为它产生的AIC和BIC值小于高斯创新模型。