主要内容

卡尔曼滤波是什么?

标准卡尔曼滤波器

在状态空间模型框架,卡尔曼滤波器估计潜在的价值,线性、随机、动态过程根据可能量错的观察。考虑到不确定性分布假设,卡尔曼滤波器也通过最大似然估计模型参数。

从初始状态值(x0 | 0),初始状态variance-covariance矩阵(P0 | 0),所有未知参数和初始值(θ0),简单的卡尔曼滤波器:

  1. 估计,t= 1,…,T:

    1. 1-step-ahead向量的状态预测向量的时期t( x ^ t | t − 1 )及其variance-covariance矩阵( P t | t − 1 )

    2. 1-step-ahead向量的观察预估时间t( y ^ t | t − 1 )及其估计variance-covariance矩阵( V t | t − 1 )

    3. 的过滤后的状态的时期t( x ^ t | t )及其估计variance-covariance矩阵( P t | t )

  2. 提要预测和估计到过滤数据的似然函数

    ln p ( y T , … , y 1 ) = ∑ t = 1 T ln ϕ ( y t ; y ^ t | t − 1 , V t | t − 1 ) ,

    在哪里 ϕ ( y t ; y ^ t | t − 1 , V t | t − 1 ) 多元正态概率密度函数的意思吗 y ^ t | t − 1 和方差 V t | t − 1 。

  3. 这个过程在一个优化的可能性最大化的模型参数。

状态预测

年代招,状态预测估计的状态t使用所有的信息(例如,观察到的反应)t- - - - - -年代。

的米t1的向量1-step-ahead,状态预测t是 x t | t − 1 = E ( x t | y t − 1 , … , y 1 ) 。估计向量的预测

x ^ t | t − 1 = 一个 t x ^ t − 1 | t − 1 ,

在哪里 x ^ t − 1 | t − 1 是米t- 11过滤后的状态向量在期t- 1。

在期t、1-step-ahead状态预测variance-covariance矩阵

P t | t − 1 = 一个 t P t − 1 | t − 1 一个 t ′ + B t B t ′ ,

在哪里 P t − 1 | t − 1 是估计variance-covariance矩阵过滤状态的时期t- 1,得到的所有信息t- 1。

相应的1-step-ahead预测观察 y ^ t | t − 1 = C t x ^ t | t − 1 , ,其variance-covariance矩阵 V t | t − 1 = V 一个 r ( y t | y t − 1 , … , y 1 ) = C t P t | t − 1 C t ′ + D t D t ′ 。

一般来说,年代招,预测状态向量 x t | t − 年代 = E ( x t | y t − 年代 , … , y 1 ) 。的年代招,向量的预测

x ^ t + 年代 | t = ( ∏ j = t + 1 t + 年代 一个 j ) x t | t

和年代提前预测观测向量

y ^ t + 年代 | t = C t + 年代 x ^ t + 年代 | t 。

过滤后的状态

状态预测在期t,更新使用的所有信息(例如观察到的反应)t。

的米t1的过滤状态向量t是 x t | t = E ( x t | y t , … , y 1 ) 。过滤状态的估计向量

x ^ t | t = x ^ t | t − 1 + K t ε ^ t ,

地点:

  • x ^ t | t − 1 在时期是向量的预测吗t用观察到的反应从阶段1t- 1。

  • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t。

  • ε ^ t = y t − C t x ^ t | t − 1 是ht1的向量估计观察创新时期t。

换句话说,过滤后的状态t预测状态时期吗t加上一个调整基于观察的可信度。值得信赖的很少有相应的观察创新方差(例如,的最大特征值DtDt′相对较小)。因此,对于一个给定的估计观察创新,这个词 K t ε ^ t 有一个影响过滤状态的值高于不可靠的观测。

在期t,过滤后的州variance-covariance矩阵

P t | t = P t | t − 1 − K t C t P t | t − 1 ,

在哪里 P t | t − 1 是估计variance-covariance矩阵状态预测的时期t期,考虑到所有的信息t- 1。

平滑状态

平滑状态在周期估计状态吗t使用所有可用的信息更新(例如,所有观察到的反应)。

的米t1矢量平滑状态的时期t是 x t | T = E ( x t | y T , … , y 1 ) 。估计矢量平滑状态

x ^ t | T = x ^ t | t − 1 + P t | t − 1 r t ,

地点:

  • x ^ t | t − 1 是状态预测在期t用观察到的响应时间从1到t- 1。

  • P t | t − 1 估计variance-covariance矩阵的状态预测,给出所有信息时期t- 1。

  • r t = ∑ 年代 = t T { ( ∏ j = t 年代 − 1 ( 一个 t − K t C t ) ] C 年代 ′ V 年代 | 年代 − 1 − 1 ν 年代 } , 在那里,

    • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t。

    • V t | t − 1 = C t P t | t − 1 C t ′ + D t D t ′ ,估计variance-covariance预测观测矩阵。

    • ν t = y t − y ^ t | t − 1 ,这是观察和预测期的区别t。

平滑状态扰动

平滑状态扰动估计,状态扰动时期t使用所有可用的信息更新(例如,所有观察到的反应)。

的kt1矢量平滑的国家骚乱时期t是 u t | T = E ( u t | y T , … , y 1 ) 。估计矢量平滑状态扰动

u ^ t | T = B t ′ r t ,

在哪里rt公式中的变量估计吗平滑状态。

在期t,平滑状态扰动有variance-covariance矩阵

U t | T = 我 − B t ′ N t B t ,

在哪里Nt公式中的变量估计variance-covariance矩阵平滑的状态。

使用软件计算平滑估计落后的卡尔曼滤波器的递归。

预测的观察

年代提前预测观测是观察期间的估计t使用所有的信息(例如,观察到的反应)t- - - - - -年代。

的nt1 1-step-ahead向量,预测观察t是 y t | t − 1 = E ( y t | y t − 1 , … , y 1 ) 。预测估计向量观测

y ^ t | t − 1 = C t x ^ t | t − 1 ,

在哪里 x ^ t | t − 1 是米t1的估计向量状态预测在期t。

在期t、1-step-ahead预测观察variance-covariance矩阵

V t | t − 1 = V 一个 r ( y t | y t − 1 , … , y 1 ) = C t P t | t − 1 C t ′ + D t D t ′ 。

在哪里 P t | t − 1 是估计variance-covariance矩阵状态预测的时期t期,考虑到所有的信息t- 1。

一般来说,年代招,向量的预测 x t | t − 年代 = E ( x t | y t − 年代 , … , y 1 ) 。的年代提前预测观测向量

y ^ t + 年代 | t = C t + 年代 x ^ t + 年代 | t 。

平滑观察创新

平滑观察创新观察创新时期,估计吗t使用所有可用的信息更新(例如,所有观察到的反应)。

的ht1矢量平滑,观察创新时期t是 ε t | T = E ( ε t | y T , … , y 1 ) 。估计矢量平滑,观察创新

ε ^ t = D t ′ V t | t − 1 − 1 ν t − D t ′ K t ′ r t + 1 ,

地点:

  • rt和νt公式中的变量估计吗平滑状态。

  • Kt是米t——- - - - - -ht生卡尔曼增益矩阵的时期t。

  • V t | t − 1 = C t P t | t − 1 C t ′ + D t D t ′ ,估计variance-covariance预测观测矩阵。

在期t,平滑观察创新variance-covariance矩阵

E t | T = 我 − D t ′ ( V t | t − 1 − 1 − K t ′ N t + 1 K t ) D t 。

使用软件计算平滑估计落后的卡尔曼滤波器的递归。

卡尔曼增益

  • 的生卡尔曼增益是一个矩阵表明,多重观察在卡尔曼滤波的递归。

    原始的卡尔曼增益是一个米t——- - - - - -ht矩阵计算使用

    K t = P t | t − 1 C t ′ ( C t P t | t − 1 C t ′ + D t D t ′ ) − 1 ,

    在哪里 P t | t − 1 估计variance-covariance矩阵的状态预测,给出所有信息时期t- 1。

    生卡尔曼增益的值决定多少体重观察。对于一个给定的估计观察创新,如果的最大特征值DtDt′是相对较小的,那么原始的卡尔曼增益观察给予相对较大的体重。如果的最大特征值DtDt′是相对较大的,那么原始的卡尔曼增益传授在观察一个相对较小的重量。因此,过滤后的状态t接近相应的状态预测。

  • 考虑获得1-step-ahead状态预测的时期t+ 1期使用的所有信息t。的调整卡尔曼增益( K 一个 d j , t )的重量估计观察创新时期t( ε ^ t )相比2-step-ahead状态预测( x ^ t + 1 | t − 1 )。

    也就是说,

    x ^ t + 1 | t = 一个 t x ^ t | t = 一个 t x ^ t | t − 1 + 一个 t K t ε ^ t = x ^ t + 1 | t − 1 + K 一个 d j , t ε ^ t 。

落后的卡尔曼滤波器的递归

落后的卡尔曼滤波器的递归估计平滑状态,状态扰动,观察创新。

软件估计平滑值:

  1. 设置rT+ 1= 0,NT+ 1到一个米T——- - - - - -米T矩阵的0

  2. 为t=T,……,1,it recursively computes:

    1. rt(见平滑状态)

    2. x ^ t | T ,也就是矩阵平滑状态

    3. Nt(见平滑状态)

    4. P t | T 平滑的,估计variance-covariance矩阵

    5. u ^ t | T 的矩阵平滑状态扰动

    6. U t | T ,估计variance-covariance矩阵平滑状态的干扰

    7. ε ^ t | T 的矩阵平滑观察创新

    8. E t | T 平滑的,估计variance-covariance矩阵观测创新

分散卡尔曼滤波器

考虑一个写这状态空间模型米分散状态(xd)是分开的n静止的状态(x年代)。也就是说,初始分布的时刻

μ 0 = ( μ d 0 μ 年代 0 ] 和 Σ 0 = ( Σ d 0 0 0 Σ 年代 0 ] 。

  • μd0是一个米向量的零

  • μ年代0是一个n向量的实数

  • Σd0=κI米,在那里我米是米——- - - - - -米单位矩阵,κ是一个正实数。

  • Σ年代0是一个n——- - - - - -n正定矩阵。

  • 分散状态是彼此不相关的和静止的状态。

分析这样一个模型的一种方法是设置κ相对较大,正实数,然后实现标准卡尔曼滤波器(见舰导弹)。这种治疗是一个近似分析,将分散的状态,好像他们的初始状态协方差趋于无穷。

的分散卡尔曼滤波器或exact-initial卡尔曼滤波器[67]将通过分散状态κ∞。分散卡尔曼滤波器过滤在两个阶段:第一阶段初始化模型,随后可以使用标准的卡尔曼滤波器过滤,这是第二阶段。初始化阶段反映了标准卡尔曼滤波器。它将所有初始过滤状态设置为零,然后增加向量的初始过滤与单位矩阵,组成一个(米+n)——- (米+n+ 1)矩阵。足够数量的时期后,精度矩阵非奇异的。即分散卡尔曼滤波器使用足够的时间系列的开始时初始化模型。你可以把这段时期当作presample数据。

第二阶段开始时精度矩阵是满秩。具体来说,过滤状态的初始化阶段返回一个向量矩阵及其精度。然后,标准卡尔曼滤波器使用这些估计,剩下的数据过滤,光滑,和估计参数。更多细节,请参阅dssm和[67],5.2秒。。

引用

[1]杜宾J。,和S. J. Koopman.时间序列分析的状态空间方法。第二版》。牛津:牛津大学出版社,2012年。

另请参阅

对象

功能

相关的话题