First-to-Default互换

这个例子展示了如何定价first-to-default (FTD)互换下均匀损失的假设。

first-to-default交换是一种工具,支付预定的数量(如果)时的第一个一篮子信用工具违约。篮子的信贷工具通常是债券。如果你认为信用事件后的损失金额是相同的所有学分的篮子里,你下均匀的损失假设。这种假设使模型更简单,因为篮子中的任何违约触发相同的付款额。这个例子的实现这些信用工具的定价方法,如O 'Kane [2]。有两个步骤的方法:

篮子数值计算的生存概率。
使用这个存活曲线和标准单名信贷违约掉期(CDS)功能找到FTD现有FTD互换利差和价格。

市场数据符合概率曲线

鉴于CDS市场报价对于每个发行人在篮子里,使用cdsbootstrap调整个人为每个发行人违约概率曲线。

%的利率曲线ZeroDates = datenum ({“17-Jan-10”,“17-Jul-10”,“17-Jul-11”,“17-Jul-12”,…“17-Jul-13”,“17-Jul-14”});ZeroRates = (1.35 1.43 1.9 2.47 2.936 3.311) ' / 100;ZeroData = [ZeroDates ZeroRates];% CDS利差%在MarketSpreads每一行对应一个不同的发行人;每一个%列到一个不同的到期日(MarketDates对应)MarketDates = datenum ({“20-Sep-10”,“20-Sep-11”,“20-Sep-12”,“20-Sep-14”,…“20-Sep-16”});MarketSpreads = (160 195 230 285 330;130 165 205 260 305;150 180 210 260 300;165 200 225 275 295);%的发行人在MarketSpreads =的行数nIssuers =大小(MarketSpreads, 1);%结算日期解决= datenum (“2009年- 7月17日”);

在实践中,离散时间轴和FTD存活曲线只是评估网格点。这个例子使用一个点每三个月。要求cdsbootstrap返回默认的概率值的特定网格点你想要的,使用可选参数“ProbDates”。原标准CDS市场日期添加到网格,否则违约概率信息在这些日期是插值网格上使用两个最近的日期,然后价格市场日期将不符合原来的市场数据。

ProbDates =联盟(MarketDates daysadd(结算360 * (0.25:0.25:8),1));nProbDates =长度(ProbDates);DefProb = 0 (nIssuers nProbDates);为2 = 1:nIssuers MarketData = [MarketDates MarketSpreads (ii):) ');ProbData = cdsbootstrap (ZeroData MarketData,结算,…“ProbDates”,ProbDates);DefProb (ii) = ProbData (:, 2) ';结束

这是校准每个信用违约概率曲线在篮子里。

图绘制(ProbDates ', DefProb) datetick标题(“个人违约概率曲线”)ylabel (“累积概率”)包含(“日期”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题个人违约概率曲线包含4线类型的对象。

确定潜变量阈值

潜变量用于不同的信用风险情况下,有不同的解释。在某些情况下,一个潜在的变量是一个代理资产的价值的变化这个变量的域是扔进垃圾箱,每本对应的信用评级。垃圾箱限制或阈值,确定信用迁移矩阵。在我们的环境中,潜变量是相关的默认的时间和阈值确定垃圾箱在离散时间网格可能发生违约。

正式,如果特定的时间违约发行人用 $τ$ ,我们知道其违约概率函数 $P (t)$ ,一个潜变量 $一个$ 和相应的阈值 $C (t)$ 满足

$P r (τ \leq t) = P (t) = P r (一个 \leq C (t))$

或

$P r (年代 \leq τ \leq t) = P (t) - - - - - - P (年代) = P r (C (年代) \leq 一个 \leq C (t))$

这些关系使潜变量的方法方便模拟和分析推导。这两个 $P (t)$ 和 $C (t)$ 是时间的函数。

选择一个分布的变量 $一个$ 确定阈值 $C (t)$ 。标准的潜变量模型的变量 $一个$ 选择遵循一个标准正态分布,从哪个

$C (t) = Φ^{- - - - - - 1} (P (t))$

在哪里 $Φ$ 累计标准正态分布。

使用前面的公式来确定缺省的时间阈值,或者只是默认阈值之前,相应的违约概率获得学分的篮子里。

DefThresh = norminv (DefProb);

获得存活曲线的篮子里

O 'Kane后(2),您可以使用一个单因素潜变量模型来获得生存概率函数表达式的篮子里。

给定的参数 $β_{我}$ 为每个发行人 $我$ 鉴于独立标准正态变量 $Z$ 和 $ϵ_{我}$ 、单因素潜变量模型假定潜在变量 ${一个}_{我}$ 与发行人关联 $我$ 满足

${一个}_{我} = β_{我} * Z + \sqrt{1 - - - - - - β_{我}^{2}} * ϵ_{我}$

这引起一个发行者之间的相关性 $我$ 和 $j$ 的 $β_{我} β_{j}$ 。所有潜在的变量 ${一个}_{我}$ 分享共同的因素 $Z$ 作为一个不确定性的来源,但每个潜变量也有一个特殊的不确定性来源 $ϵ_{我}$ 。系数越大 $β_{我}$ ,潜变量类似于常见的因素 $Z$ 。

使用潜变量模型,您可以获得一个解析公式的生存概率的篮子里。发行人的概率 $我$ 幸存的过去时间 $t_{j}$ 换句话说,它的默认时间 $τ_{我}$ 大于 $t_{j}$ 是

$P r (τ_{我} > t_{j}) = 1 - - - - - - P r ({一个}_{我} \leq C_{我} (t_{j}))$

在哪里 $C_{我} (t_{j})$ 是默认阈值计算发行人上面吗 $我$ , $j$ 离散化网格th日期。有条件的单因素的价值 $Z$ 过去,所有发行人存活的概率 $t_{j}$ 是

$P r (没有违约通过时间 t_{j} | Z)$

$= P r (τ_{我} > t_{j} 为所有我 | Z)$

$= \prod_{我} (1 - - - - - - P r ({一个}_{我} \leq C_{我} (t_{j}) | Z)]$

该产品是合理的,因为所有的在哪里 $ϵ_{我}$ 是独立的。因此,有条件的 $Z$ , ${一个}_{我}$ 是独立的。没有违约时间的无条件概率 $t_{j}$ 所有的积分值的 $Z$ 以前的条件概率

$P r (没有违约通过时间 t_{j})$

$= \int_{Z} \prod_{我} (1 - - - - - - P r ({一个}_{我} \leq C_{我} (t_{j}) | Z)] ϕ (Z) d Z$

与 $ϕ (Z)$ 标准正态密度。

通过评估每个点一维积分 $t_{j}$ 在网格中,你会得到整个篮子的存活曲线的离散化,即FTD存活曲线。

潜变量模型还可以用来模拟默认的时候,也就是发动机的许多信贷工具的定价方法。吕弗勒和Posch1),例如,通过模拟估计一篮子的生存概率。在每个模拟场景时间默认为每个发行人决定。记账,第一个违约的概率可以估计每个桶网格的模拟。O 'Kane[讨论的模拟方法也2]。模拟非常灵活和适用于许多信贷工具。然而,分析方法是首选,当可用的,因为他们是更快和更准确的模拟。

计算FTD生存概率在这个例子中,设置所有贝塔的平方根目标相关性。然后你可以遍历所有日期时间网格计算一维积分,给出了生存概率的篮子里。

对于实现,有条件的生存概率的函数一个标量Z将

condProb = @ (Z)刺激(normcdf ((-DefThresh (:, jj) +β* Z)。/√(1测试版。^ 2)));

然而,集成功能要求被积函数的函数处理接受向量。尽管一个循环在标量版本的条件概率,更有效的使用条件概率进行向量化bsxfun。

β= sqrt (0.25) * 1 (nIssuers 1);FTDSurvProb = 0(大小(ProbDates));为jj = 1: nProbDates%矢量化条件概率作为Z的函数vecCondProb = @ (Z)刺激(normcdf (bsxfun (@rdivide,…-repmat (DefThresh (:, jj), 1,长度(Z)) + bsxfun (@times,β,Z),…√1测试版。^ 2))));%截断正态分布域(5,5)间隔FTDSurvProb (jj) =积分(@ (Z) vecCondProb (Z)。* normpdf (Z), 5、5);结束FTDDefProb = 1-FTDSurvProb;

比较FTD个人发行人违约概率的概率。

图绘制(ProbDates ', DefProb) datetick在情节(ProbDates FTDDefProb,“线宽”3)datetick保存从标题(“FTD和个人违约概率曲线”)ylabel (“累积概率”)包含(“日期”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题FTD和个人违约概率曲线包含5线类型的对象。

发现现有FTD互换FTD利差和价格

假设所有仪器的篮子里有相同的回收率,或均匀损失假设(见O 'Kane [2]),得到的传播FTD交换使用cdsspread函数通过FTD概率数据计算。

成熟= MarketDates;ProbDataFTD = [ProbDates, FTDDefProb];FTDSpread = cdsspread (ZeroData ProbDataFTD,解决、成熟度);

比较个人传播的FTD利差。

图绘制(MarketDates MarketSpreads”) datetick在情节(MarketDates FTDSpread,“线宽”,3)从标题(“FTD和个人CDS利差”)ylabel (“FTD传播(bp)”)包含(“到期日”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题FTD和个人CDS利差包含5线类型的对象。

现有的FTD交换可以定价cdsprice,使用相同的FTD概率。

Maturity0 = MarketDates (1);%认为成熟市场上最近的日期Spread0 = 540;%的传播现有FTD合同%认为复苏和名义上的默认值FTDPrice = cdsprice (ZeroData ProbDataFTD,解决、Maturity0 Spread0);流(“现有FTD合同价格:% g \ n 'FTDPrice)

现有的FTD合同价格:17644.7

分析灵敏度相关

说明FTD传播模型的敏感性参数,计算一系列的市场传播相关的值。

相关系数= [0 0.01 0.10 0.25 0.5 0.75 0.90 0.99 1];FTDSpreadByCorr = 0(长度(成熟),(corr));FTDSpreadByCorr (: 1) = (MarketSpreads)的总和;FTDSpreadByCorr(:,结束)= max (MarketSpreads)”;为2 = 2:长度(corr) 1β=√(2)(corr) * 1 (nIssuers 1);FTDSurvProb = 0(长度(ProbDates));为jj = 1: nProbDates%矢量化条件概率作为Z的函数condProb = @ (Z)刺激(normcdf (bsxfun (@rdivide,…-repmat (DefThresh (:, jj), 1,长度(Z)) + bsxfun (@times,β,Z),…√1测试版。^ 2))));%截断正态分布域(5,5)间隔FTDSurvProb (jj) =积分(@ (Z) condProb (Z)。* normpdf (Z), 5、5);结束FTDSurvProb = FTDSurvProb (: 1);FTDDefProb = 1-FTDSurvProb;ProbDataFTD = [ProbDates, FTDDefProb];FTDSpreadByCorr(:,(二)= cdsspread (ZeroData ProbDataFTD,解决、成熟度);结束

总和之间的FTD利差躺在一个乐队和个人传播的最大。随着相关的增加,FTD利差减少对个人的最大传播篮子里(所有信用违约)。相关性降低为零,FTD传播方法的总和个人传播(独立学分)。

图传说=细胞(1、长度(corr));情节(MarketDates FTDSpreadByCorr (: 1),凯西:”)传说{1}=“利差的总和”;datetick举行在为2 = 2:长度(corr) 1块(MarketDates, FTDSpreadByCorr(:,(二),“线宽”(ii), 3 * corr)传说{2}= (“相关系数”num2str (ii) * 100 (corr)“%”];结束情节(MarketDates FTDSpreadByCorr(:,结束),“k -”。)传说{结束}=利差的马克斯;持有从标题(“FTD传播不同的相关性”)ylabel (“FTD传播(bp)”)包含(“到期日”)传说(传说,“位置”,“西北”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题FTD传播不同的相关性包含9线类型的对象。这些对象代表的利差,Corr 1%,相关系数10%,相关系数25%,相关系数50%,相关系数75%,相关系数90%,相关系数99%,利差的马克斯。

对于短期限和小的相关性,篮子是有效地独立(FTD传播非常接近的总和个人传播)。关联效应变得更重要的时间期限。

这是另一种可视化FTD息差依赖的相关性。

图冲浪(corr MarketDates FTDSpreadByCorr) datetick (“y”甘氨胆酸)ax =;斧子。YDir =“反向”;视图(-40年,10)标题(“FTD传播不同的相关性和期限”)包含(“相关”)ylabel (“到期日”)zlabel (“FTD传播(bp)”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题FTD传播不同的相关性和期限包含一个类型的对象的表面。

引用

[1]吕弗勒,冈特和彼得Posch。信用风险建模使用Excel VBA。威利金融,2007。

多米尼克[2]•欧凯恩称。造型单名和multi-name信用衍生品。威利金融,2008。

另请参阅

cdsbootstrap|cdsprice|cdsspread|cdsrpv01

外部网站

信用违约互换的定价和估值(4分22秒)