偏微分方程工具箱™解决的形式标量方程gydF4y2Ba
和这种形式的特征值方程gydF4y2Ba
对于标量偏微分方程,每条边或面有两种边界条件选择:gydF4y2Ba
Dirichlet -在边缘或面上,解gydF4y2BaugydF4y2Ba满足方程gydF4y2Ba
胡gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2BahgydF4y2Ba而且gydF4y2BargydF4y2Ba可以是空间的函数(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,在三维情况下,gydF4y2BazgydF4y2Ba),解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba,和时间。通常,你gydF4y2BahgydF4y2Ba= 1,并设置gydF4y2BargydF4y2Ba到适当的值。gydF4y2Ba
广义诺伊曼边界条件-关于边或面的解gydF4y2BaugydF4y2Ba满足方程gydF4y2Ba
是向外单位的法线。gydF4y2Ba问gydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba函数是在∂Ω上定义的吗,可以是的函数吗gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,在三维情况下,gydF4y2BazgydF4y2Ba,解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba,对于时间相关方程,为时间。gydF4y2Ba
工具箱还可以求解这种形式的方程组gydF4y2Ba
和这种形式的特征值系统gydF4y2Ba
一个偏微分方程系统gydF4y2BaNgydF4y2Ba组件gydF4y2BaNgydF4y2Ba带有耦合边界条件的耦合偏微分方程。标量偏微分方程gydF4y2BaNgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba,意味着只有一个PDE。偏微分方程系统一般是指gydF4y2BaNgydF4y2Ba> 1gydF4y2Ba.文档有时将系统称为多维偏微分方程或带向量解的偏微分方程gydF4y2BaugydF4y2Ba.在所有情况下,PDE系统都有一个单一的几何和网格。这只是gydF4y2BaNgydF4y2Ba即方程的数量,可以变化。gydF4y2Ba
系数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba,gydF4y2BacgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba可以是位置的函数(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,在3d中,gydF4y2BazgydF4y2Ba),除特征值问题外,它们也可以是解的函数gydF4y2BaugydF4y2Ba或者它的梯度。对于特征值问题,系数不能依赖于解gydF4y2BaugydF4y2Ba
或者它的梯度。gydF4y2Ba
对于标量方程,除了gydF4y2BacgydF4y2Ba是标量。的系数gydF4y2BacgydF4y2Ba表示二维几何中的2 × 2矩阵,或三维几何中的3 × 3矩阵。对于系统gydF4y2BaNgydF4y2Ba方程,系数gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是gydF4y2BaNgydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2BaNgydF4y2Ba矩阵,gydF4y2BafgydF4y2Ba是一个gydF4y2BaNgydF4y2Ba-by-1向量,和gydF4y2BacgydF4y2Ba是2gydF4y2BaNgydF4y2Ba2gydF4y2BaNgydF4y2Ba张量(二维几何)或一个3gydF4y2BaNgydF4y2Ba3gydF4y2BaNgydF4y2Ba张量(3-D几何)。因为gydF4y2Ba ,请参阅gydF4y2Bac系数为特定系数gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
当两个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba而且gydF4y2BadgydF4y2Ba是gydF4y2Ba0gydF4y2Ba
时,偏微分方程是静止的。当gydF4y2Ba米gydF4y2Ba或gydF4y2BadgydF4y2Ba都是非零的,问题是时间相关的。任何系数都取决于解gydF4y2BaugydF4y2Ba或者它的梯度,这个问题被称为非线性。gydF4y2Ba
对于偏微分方程系统,存在Dirichlet和Neumann边界条件的广义版本:gydF4y2Ba
胡gydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba表示一个矩阵gydF4y2BahgydF4y2Ba乘以解向量gydF4y2BaugydF4y2Ba,等于向量gydF4y2BargydF4y2Ba.gydF4y2Ba
.对于二维系统,表示法gydF4y2Ba 意味着gydF4y2BaNgydF4y2Ba-by-1矩阵与(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba1)分gydF4y2Ba
边界的向外法向量在哪里gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
对于三维系统,符号gydF4y2Ba 意味着gydF4y2BaNgydF4y2Ba-by-1向量与(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba1)分gydF4y2Ba
边界的向外法向量在哪里gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
对于每条边或面段,总共有gydF4y2BaNgydF4y2Ba边界条件。gydF4y2Ba