好的。这是一阶微分方程的下一步。我们用一个振荡的,而不是指数的。指数,上节课讲过,增长或衰减,现在我们有一个振荡。在这个问题中我们有AC,交流电,而不是实指数,我们有振荡,振动,所有的应用都涉及到圆周运动,一圈又一圈,而不是指数衰减。
好的。这就是重点。同样,我在寻找一个特解。特解,如果我们说特解是cos的倍数就好了。但这行不通。这使得这个问题比指数题难了一步。
我们得允许这些标志出现在那里。因为,如果我寻找余弦函数,如果我只尝试这一部分,我可以匹配它。a乘以cos,就是cos。余弦函数的导数是正弦函数。所以符号会出现在这里我们必须让它们进入解中。
好的。所以这是正确的假设。实际上,你会看到,这个问题的答案有三种不同的写法。这是第一个最直接的,但从长远来看不是最好的。
好的。简单的,我要把它代入方程然后求出M和n,这是我的工作。求这些数。把这个代入方程。
在左边,我要求导数,我们会得到,cos的导数是- msin t,导数提出了这个因子。cos的导数是sin。
现在对它求导得到一个因子N cos t,它应该等于a乘以y,这是y,所以我只要乘以a, a M cos t,和N sin t,这是ay部分。现在我有源项加上cos t,这必须一直成立。
现在我需要方程。我该拿这个做什么?我要找两个东西,M和n,我要找两个方程。
所以我匹配cos项。我匹配这个余弦项和源项。所以它们都乘以cos t,所以我要n,我把这个移到另一边- m + n等于,这里只有一个cos,等于1。- M + N = 1。
现在我要匹配sin项。所以在sin项中,我有- M sin t,我必须把这个放到另一边,所以这是- nsin t,在源中没有sin t。
这是我的两个方程。这是M和n的两个方程,我只要解出这两个方程就得到了我要找的特解。
这是两个方程,两个未知数。这是线性代数的基本问题。我倾向于把我事先准备好的答案写下来。结果是- a /²+ a²。N也有相同的平方加上a的平方,上面是。
如果你检查这个方程,例如,乘以M会得到一个带负号的。然后a乘以N也有一个a。同样的平方加上a的平方,它们消去得到0。这个方程也解出来了。
又一个重要的问题解决了。我们求出了特解。我还没有加入,我还没有匹配初始条件。
在很多很多情况下,我们感兴趣的是这个特解。这里,我把解圈起来,我们把它代入微分方程。我们发现了m,我们发现了n,我们得到了这个特解。
这就是持续的振荡。如果我们在听收音机或者有交流电,这就是我们看到的,零解。没有源项的东西。
通常a是负的,这个消失了。这叫做暂态项。所以零解总是有ae ^ at。但我对此不感兴趣,因为它消失了。一分钟后你就听不见了。这就是解决方案,这就是你耳朵听到的。
好的。所以我们得到了答案的一种形式。这是一个很好的形式,但并不完美。我看不太清楚,这个可以很好地化简。当我们处理sin和cos的时候,这一步很重要。
我相信同样的yp (t)可以写成另一种形式,另一种形式,我应该说,同样的y (t)的另一种形式,另一种形式是同样的y (t)你们看,我不喜欢的是cos和sin因为它们是不相的,它们组合成某种东西,我想知道它们组合成什么。这真的很好。它们结合成一个余弦,但不只是t,有一个滞后,一个相移。所涉及的角度通常称为相位。
这两个,正弦和余弦,结合起来就得到了一个有振幅的相移,也许我可以叫它G,增益。通常它会被称为大写R,因为你在这里看到的是极坐标。所以我想匹配这个,它有G和极坐标,这是正确的思考方式。G和,大小和角度。我想把它和我已有的形式匹配起来。
我要用一点三角学知识来记住这个等于,这里有个g,你们还记得cos (a - b)的公式吗?差值的余弦是cos (t) cos()加上。这里是加号,因为这里是负号,sin t sin。我刚刚把它写成了两项式,我这样做是为了匹配我已有的两项式。
我可以做匹配吗?cos t, M一定是gcos。N一定是gsin。
现在我有了两个方程。M和N,我还记得它们是什么。我算出来了。
现在我想把mn形式转化成G形式,这就是我要做的。这在极坐标中很常见。我怎么知道G是多少,和是多少?诀窍在于,当你看到余弦和正弦时,一个基本的恒等式是记住cos²+ sin²= 1。我要用它,必须用它。
两边平方。我有M的平方,然后相加,我有M的平方加上N的平方等于G的平方cos的平方。G的平方乘以cos的平方,当我平方这个的时候,sin的平方。重点是这是1。这就是G的平方。
我学到了什么?G是这个的平方根。G是M方加N方的平方根。我一直是自由插件我找到的M和N。
那是。啊,那呢?这就是角度。所以我必须——再次强调,我在考虑三角函数。我怎么得到?现在我想把G从这个公式中提出来,只关注。之前我得到了G。
现在要做的就是取比值。如果取这个和那个的比值,一个除以另一个,G就消掉了。我用这个和这个的比值得到gsin除以gcos等于N / m, G抵消了。
现在我有了一个方程。或者更确切地说,我有一个tan的方程。sin / cos等于tan = N / M。
这叫做,你可以叫它正弦恒等式。正弦这个词是什么?Sinusoid这个词指的是任何正弦和余弦的组合,任何相同t的正弦和余弦的组合。
根据正弦恒等式,我可以把这个解写成这个解。我认为整个过程中的关键数字是增益,即幅度。这是我们在调收音机时电台的音量。这是一个持续的响应因为余弦会一直振荡。在初始条件下也会有一些我们预期会消失的东西。
我一开始就提到过这个cos输入有三种形式的答案,我给了你们两种。我已经给出了M和N的形式。你可以说直角坐标,cos和sin。我已经给出了极坐标形式,也就是增益,幅度和相位。第三个是复数。我得单独讲,甚至两节课。
那么复数是怎么来的呢?这是一个完全真实的方程。如果我想一下我所做的所有这些,它们都是真实的,但是有一个联系,关于复数的关键事实,欧拉公式会告诉我cos t和sin t与e的I t次方之间的联系,所以为了引入复数,虚数I,或者电子工程师的j,我们又回到了指数。我们又回到了指数。下节课再讲。
这是一个很好的源函数的例子。也许我可以说,最好的源函数是什么?这就是源函数,很好。指数甚至更好。康斯坦斯是最好的。
我想介绍的另一个是函数。函数是一个脉冲,瞬间发生的事情。这是一种非常有趣,非常重要的可能性。
好的。谢谢你!
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