好的。最后,我要解决这个一阶线性微分方程的公式适用于任何源项。所以我们已经解决了具体,不错,特殊源项我以后会记得。但是现在我们想一个公式,方程的解,。我们要理解公式。现在,把公式写下来,然后让我们看看为什么它是正确的。当然,我们可以把它放进方程和确认它是对的。
好的公式是大公式——这是你可能会说,对一阶线性方程。所以y (t。首先,我们有数量的结果——我想这是平衡。的钱都存入了银行就是以这种速度增加的原因,因为感兴趣的是补充道。以这种速度的增加,因为新增加存款。哦,也许我应该说关于这些存款,我不会想的存款一年一次,或一个月一次,甚至一分钟一次,。存款不断。我们这里说的微分方程。时间——时钟总是运行。所以你——理论上,至少,你沉淀的速度每秒,所有的时间。
好的。首先,y为0,这是一个一生一次存款帐户开始。它的增长,正如我们所知,与利率指数。问题是,这是零初始条件相匹配的解决方案。无解,因为这里没有存款。这解决了这部分的方程,零的部分。但是现在我想添加在一个特定的解决方案,它将特定的解决方案相匹配的存款。
我想理解这个公式。这是公式。我要存款——每个矿床在时间T,在一段时间,然后它生长。一旦你存款,它会呈现指数级增长。———它将增长在剩余时间。这是公式。在任何时候你做存款,年代,t等于0和年代之间的平等。
所以年代是正在运行的时钟。T是——我们看一下我们的账户,看看里面有什么。这个存款时间年代,然后它生长在剩余时间,从s t。所以它生长因子e的,t - s。这是关键。现在我们把所有这些存款的增长。因此,除了连续时间就是集成。这就是积分的概念,不断增加。
这是我的公式,我希望你会欣赏。没有解决方案,生长的初始条件。特解的源项,q。当然我使用q t。这里我称之为q s。我必须介绍一个集成变量s,开始从这些存款在当前时间之前,这样的增长。这就是公式。我可以把一个大盒子。让我开始一个盒子。我能检查它是正确的。但我希望你看到为什么它是正确的。
让我做一些评论问的例子,我们没有这个公式。我们直接去它。所以我们开始,这些都是特别的。特别好,你可以说。Q t等于一个常数。这是第一个视频。然后我们做了q t等于一个指数。这是第二个。然后我们做了,所以我们发现指数的反应。
然后我做了振荡。余弦——好吧,我在这里把它——cosωt。或者另外sinωt。你记住,这两个一起来。我们不能独自坚持余弦,因为这里的余弦函数的导数会给我们一个信号,所以迹象。的公式,我们发现了更多的工作。事实上,我们做了一个真正的方法和一个复杂的方法。
现在还有其他不错的函数在微积分吗?下一节,我将告诉你关于两个函数,我认为很好。阶跃函数。所以我们不要做任何存款的存款——直到一段时间,然后我们开始,然后我们去改变常数。阶跃函数是0,然后一个常数。——这是特别有趣的,δ函数。
δ函数是什么?这并不总是进入的基本微分方程,,但它属于那里。因为在现实的模型,δ函数就像一个高尔夫俱乐部打高尔夫球。在瞬间发生了一件事。或者一个棒球棍打棒球。它给它瞬间速度。这是一种冲动。
阶跃函数是像一盏灯关掉,然后。δ函数都是在一个瞬间,一个冲动,你会发现。然后这些,哦,也许我可以包括,我们看看,如果我有一个常数,也许应该包括t, t方,等等。t的权力并不太坏。我们可以得到,
所以对于所有这些特殊的我所说的不错的功能。所有这些,我们可以用t乘以e圣,这仍是一个好去处。我们可以有一个简单的公式。这些是给简单,直接,有趣,答案本身。这是一个让一般的答案。
如果我把问任何一个在这种一般公式,我会特别的一个。你可以看到如果我把一个常数,这将是我们发现的,一开始的反应一个常数。正确的。这是一般的表情。我觉得我应该说更多关于它。
我想我应该说,两个更多的东西我想添加的一般公式。一个是,我应该检查它是正确的。但我希望你看到,它必须是正确的。这个输入进去,它的成长,一切都是线性的。所以我可以添加单独的增长,独立的结果,找出平衡是在最后的时候,t。
但是,我可以检查它。我可以得到它。这一步通常总是由一个所谓的积分因子。所以会有一个快速的视频,向你展示了如何积分因子导致这个公式。在这个视频中,我只是说我的常识。但我能检查它是正确的。我检查它是正确的。
好的。我能看到这一部分是正确的。所以我想工作,表明这是一个特解的微分方程。我可以这样做吗?我要证明,我现在看这y,我会提出e的,因为它不依赖于年代。它不参与积分。这是积分从s = 0年代等于t e的-,一个年代。问的年代,ds。这是所有的东西取决于存款,什么时候时间。我们什么时候看平衡,以后,t。
好的。这是一个产品的一项乘以另一个术语。当我把它放到了微分方程,我将使用乘积法则。的导数,产品将有两项乘积法则。和这两项,如果一切顺利,将微分方程中的两项。所以我可以的导数的乘法法则?所以我首先求导,现在我计算dy, dt,普通微积分。所以这是e的导数有时第二项。
这就是啊。这是一次我们之前的y。因为e的导数,链式法则,带来了一个,我们有。但是现在乘积法则说,我也必须采取的导数乘以这一项。这看起来很混乱。这个函数的导数是什么?这是一个t的函数,但它是一个积分。这是一个关于t的函数。它的时间导数是什么?这是产品的最后一块规则。
看它是什么。积分时间t的一些功能。和微积分基本定理说,积分是原始函数的导数,对吧?所以这个积分是原始函数的导数,我们综合在时间t。所以它是e - t的立方,第二项从产品规则。
,好的,这是ay,完美。我这里有什么?在取消E - E的,而且它的源项q t。所以我有ay + q t的,正确的右手边的微分方程。所以这个公式,我把它下来,有点高潮的开始的视频看到一阶线性微分方程。
所以现在是一步,δ函数。我只是想说这些。并分别需要几分钟。然后另一个步骤将允许利率变化。我们的问题简单因为我们保持利率不变。所以我会让利率变化。之后,真正的一步非线性方程。
所以δ函数,不同的利率,然后非线性方程。然后在二阶方程和其他理论的微分方程。好。谢谢你!
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