微分方程与线性代数,3.3c;特征值与稳定性:2 × 2矩阵,A
从这个系列中:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
两个方程y ' = Ay是否稳定(解趋于零)时的金宝搏官方网站轨迹一个是负的,行列式是正的。
现在是学习2 × 2矩阵的好时机,学习它们的特征值和稳定性。2 × 2的特征值是最容易做的,最容易理解的。很好地将2 × 2的情况从后面的n × n特征值问题中分离出来。
当然,让我记住特征值和特征向量的基本法则。我们在找一个向量x和一个特征值,所以Ax等于x,换句话说,当我乘以a时,这个特殊的向量x不会改变方向。
它只是将长度改变了一个因子,可以是正的。它可以是零。可能是负的。可以是复数。不过,这是一个数字。这就是关键方程。
求它的解。我想把它移到左边。我把同样的方程写成这种形式。现在我看到这个矩阵乘以这个向量得到0。
那么,这什么时候可能呢?这个矩阵不可逆。如果它是可逆的,那么唯一的解就是x = 0。没有好。所以这个矩阵一定是奇异的。
它确定它一定是0。现在我们有了特征值的方程。所以是矩阵移位多少使行列式为0。我们平移乘以单位矩阵从对角线上减去它。
那么我可以从一个简单的2 × 2矩阵开始,我们第一次遇到的那种,叫做伴矩阵。当我们有一个二阶方程时,我们遇到了这个矩阵。我从方程y ' ' + By ' + Cy = 0开始。
我从一个二阶方程开始。然后引入y '作为第二个未知数。现在我有一个未知向量y和y '然后,当我把方程写下来的时候——我就不重复了——它把我们带到了一个2 × 2的矩阵。
两个方程有两个未知数,y和y '我们感兴趣的是一个2 × 2矩阵。但我们真正感兴趣的是所有的2 × 2矩阵。我把它当作矩阵A,我的伴矩阵。
所以我只是想通过找出它的特征值的步骤。这个矩阵的特征值是什么?我们取矩阵,从对角线上减去,然后求行列式。当我取一个2 × 2矩阵的行列式时,它就是这个乘以这个,也就是-乘以-等于平方。
这就得到了B。行列式的另一部分是这个乘积- c,但是它有一个负号,所以它是+ c,这就是我的伴随矩阵的特征值的方程。当然你会发现这和指数s的方程是完全一样的。
所以矩阵的情况和单二阶方程的s s1 s2是一样的。所以这个方程有e ^ st的解当矩阵有特征金宝搏官方网站值等于s时,同样的s1和s2。
但现在我们来看看一般的2 × 2矩阵。它的特征值是什么?这个方程的两个特征值是什么样子的?这是它的一个特例。
这里,我有一个一般矩阵,a b c d,我从对角线上减去。我在求行列式。这就给出了两个特征值。我们开始吧。
乘以-等于的平方。然后有- d和- a,所以有a + a d。然后是不涉及的部分。不包含的部分就是det (a bc d)就是ad和- bc。
所以有一个ad和一个- bc,所有这些都是0。这是二次方程,二次。一个2 × 2矩阵有两个特征值,方程的两个根。我只是想越来越多地了解根1 2和矩阵ab c d的联系。
如果我知道2 × 2矩阵,这就告诉了我特征值。作为一个二次方程,它有两个根。如果我因式分解这个,这个就会因式分解成- 1乘以- 2。当然,如果数字很好,我就能知道1和2是什么。
在这种情况下,我找到特征值。如果数字不是很好,那么1和2来自于二次方程,负b加或减根号下b方减4ac。二次公式会解出这个方程,会告诉我这两个数。
如果我这样乘出来,就得到²。我看到-乘以1和2。然后我看到+ 1 * 2 = 0。这里,我已经写出了两个的方程。在这里,当我知道两个时,我已经写出了方程。
我为什么要这么做?我想把这个和这个匹配看看这个数,不管它是什么,和那个数是一样的。它们出现在这里,-的系数。这是第一步,1 + 2等于a + d。
匹配这两个方程。这就像一个关于二次方程的一般事实。根的和是的负系数。然后常数项就是常数项。所以1乘以2等于ad - bc。
这些是关于2 × 2矩阵的事实,ab c d,特征值的和。所以这是特征值的和,所以我用s-u-m来表示我在看这个和,就是a加d, a加d是对角线上的数字。这有点特别。
当我把对角线上的数相加,就得到了矩阵的迹。我要介绍一个词,trace。迹就是沿着对角线往上加。和a + d匹配。
这个是特征值1乘以2的乘积。这就是乘积。它等于a的行列式,我只是做了一些简单的联系对于2 × 2矩阵来说是很特殊的。
所以如果我写下一些矩阵,我们可以马上看它们。我写一个矩阵。假设我写下这个矩阵。哦,让它们是0,1,哦,0,4,啊,让我改进一下。
2 4 4 9。2 4 4 2就更简单了。对不起。我看这个矩阵。我立刻看到这个矩阵的两个特征值加起来等于4。2加2等于4。我做了追踪。
这个矩阵的两个特征值乘以这个行列式,就是2 * 2 = 4 - 16 - 12。所以这个矩阵的和是4。这个矩阵的行列式是4 - 16 = - 12。
也许我可以找出两个加4乘以- 12的数。我想,实际上,它们是6和- 2。我认为这里的特征值是6和- 2因为它们加起来是4,轨迹,它们乘以6乘以- 2是- 12。这是行列式。
2 × 2矩阵,你很有可能看到到底发生了什么。现在,我今天这个视频的兴趣是用所有这些,用特征值,来决定稳定性。稳定性意味着微分方程的解趋于0。金宝搏官方网站
我们记得解是e ^ (st)也就是e ^金宝搏官方网站 (t) s和都来自同一个方程在二阶方程化简为伴矩阵的情况下。我感兴趣的是什么时候特征值是负的。
什么时候特征值是负的?或者如果它们是复数,什么时候它们的实部是负的。那么我们能记住迹,和,积,行列式吗。然后回答稳定性问题。
所以我准备好稳定了。稳定性意味着1 -和2 -。这是真实情况。或者在复数情况下,等于某个实部加上减去某个虚部。然后让实部为负。
a的实部,也就是a,应该是0。这是我们的要求。如果特征值是复数,我们得到一对特征值实部应该是0所以e的。关于- a的一点是e的at次方会趋于0。关于这些-的关键是e的t次方趋于0。
这就是稳定性。所以我的问题是,决定这个特征值的矩阵的检验是什么?我们看看矩阵,也许我们不需要找到那些特征值。也许我们可以利用这个事实。
再一次,事实是1 + 2是迹1乘以2是行列式。我们可以从矩阵中读出这些数字。然后是二次方程。
但是如果我们只想知道特征值是负的吗?它们的实部为负吗?我们可以从这些数字中得到信息而不用从那个二次方程中求特征值。这并不难做到,但我们不必这么做。
假设我们有两个负的特征值。那么当然,这就意味着痕迹是负的。因为迹是特征值的和。如果它们都是负的,trace是负的。这样我们就能马上查到痕迹了。
那么行列式呢?如果这是负的,这是负的,那么它们相乘会得到一个正数。所以行列式应该是正的。trace小于0。行列式大于0。这就是稳定性测试。
这就是稳定性测试。稳定。2 × 2矩阵A B C D,如果它的迹是负的,行列式是正的,它是稳定的。这就是考验。
实际上,它也适用于复数形式因为1加上2,1等于a + i。2是-。和就是2a。我们希望它是负的。
再一次,trace negative。即使根是实数或者是复数,也要做负的标记。这仍然告诉我们根的和是负的行列式也成立。
如果a + i乘以a- i,在这种情况下,1乘以2,如果我把这些数相乘,我得到a的平方加上的平方。带一个加号。所以这是正的。我们很好。
所以我的结论是,这是对稳定性的考验。我可以把它应用到一些矩阵上。我写了一些矩阵。我能不能看看这个测试——你能不能看看这个测试——然后应用它来看看。
这里有个例子。比如- 2 - 1 3 4。这样好吗?迹线是- 3。这很好。行列式是2 - 12 - 10。这是不好的。这是不好的。
所以这是不稳定的。它的行列式是负的。不稳定的。我在这里加个x。不稳定的。
让我选一个稳定的。稳定的是- 5和1,比方说。没关系。迹线是负的。- 4。现在我想让行列式为正。
也许我应该写6和- 7。只是选数字而已。现在行列式是- 5 + 42。一个大的正数。行列式检验通过。这是可以的。它是稳定的。
如果这是矩阵A,那么dy / dt = Ay, y ' = Ay的解金宝搏官方网站就是微分方程。跟踪特征向量的两金宝搏官方网站个解都是负的。因为迹是负的而行列式是正的。通过稳定性测试,解会趋于负无穷。金宝搏官方网站
这是2乘2的。谢谢你!
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