从系列中:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个二阶方程给出了两个一阶方程Y和DY / DT.. 这个矩阵变成了一个伴随矩阵。
好啊关于二阶常系数方程稳定性的第三个视频。但我们将继续讨论矩阵。这是一段相当特别的视频。这是我们熟悉的方程式。我把a分到b1,我只是把a分开。没问题。
这是一个二阶方程。但我们知道如何把它转换成两个一阶方程。他们在这里。这是两个方程。这是一个2乘2的矩阵。让我来看看上面的等式。它说dy dt是0y加1dy dt。所以这个方程是一个微不足道的问题。dy dt等于dy dt。
第二个等式是真实的。y素数的导数是y双素数。这是二阶导数,等于负cy和负byprime。这就是我的方程y双素数,当我把负的y作为正的y,我把负的b作为正的y。我有我的方程式。所以这个方程和那个方程是一样的。它只是用一个未知的向量写的。这是一个由两个方程组成的系统。
它有一个2乘2的矩阵。它被称为,这个有0和1的特殊矩阵被称为伴随矩阵。伴星,这是那个的伴星方程。
好的。不管我们对这个方程了解多少,从指数s1和s2,我们都会从这个方程中得到相同的信息。但是语言会发生变化。这就是这个视频的真正目的,只是告诉你语言的变化。就是这样。对于这个问题,旧的指数s1和s2,每个看这个视频的人都是r记住,s的解是s的平方加上Bs加上C等于0,所以s总是这样。
这有两个根,s1和s2控制一切,控制稳定性。现在如果我用这种语言,我不再称它们为s1和s2。但它们是相同的两个数字。我称之为特征值,一个很酷的词,一半是德语,一半是英语,有点疯狂。但这已经是老生常谈了。
那些相同的数字将被称为矩阵的特征值。你看,这个问题中的矩阵是相同的。我们在这里获得了与等式相同的信息。所以那些是特征值。我可以告诉你你可能知道的东西吗?每个人都在为特征值写下Lambda,希腊兰巴州。所以我在哪里有两项指数,这里我有两个特征值。这些数字与这些数字相同。他们满足相同的等式。
当我们很快正确地遇到矩阵和特征值时,我们将看到其他矩阵的特征值。我们会看到,对于这些特殊的伴随矩阵,特征值解的方程和指数解的方程相同,二次s平方,B和C等于0。
好的。稳定性,记住稳定性是指数根的实部,小于零,因为指数有负的实部,然后变为零。现在我们只是使用,这是我们的旧语言。我们的新语言是lambda的实部,小于零。
稳定矩阵是特征值的实部,λ小于零。我们只是把字母s和一个高阶方程换成字母lambda和两个一阶方程。好啊我这样做没有-,只是把lambda连接到s,但是没有告诉你lambda是什么。
好啊所以让我记住。所以,我在这里又迈出了一步。因为基本上我已经讲了关于二阶方程的所有内容。我们知道稳定的条件。条件是阻尼应为正,B应为正。频率平方最好是正值。所以C应该是正的。因此,当这是我们的矩阵时,B阳性和C阳性就是这种情况。
现在我还有几分钟。那么为什么我不允许任何2乘2的矩阵呢。这里我不会给你特征值的理论。但只要建立连接就行了。好啊所以我想建立连接。你还记得,伴随矩阵有一个特殊的形式0。a是零,b是1,c是负的大c,d是负的b,这是伴星。
那么,在这个早期,几乎太早的时刻,关于特征值,我要说些什么呢?因为我必须把这些做好。特征值和特征向量是方程组的关键。你明白我说的系统是什么意思吗?这意味着未知-,我有不止一个方程。
我的矩阵是2乘2,或3乘3,或n乘n。我的未知z有2个、3个或n个不同的组件。这是一个向量。所以z是一个向量。矩阵乘以向量。矩阵就是这样做的。他们乘向量。这就是总体情况。这是一个特别重要的案例。
所以我们可以决定稳定性。所以我会总结该系统的稳定性。稳定性将是 - 好吧,我必须告诉你一些关于该系统的解决方案。金宝搏官方网站记住z是矢量。所以这里有解决方案。金宝搏官方网站z是 - 事实证明这是关键。有一个e - 你期望指数。你期待现在的特征值而不是那里。现在我们需要一个矢量。让我打电话给矢量x1。 And this will be the eigenvector. And this is the eigenvalue.
如果我寻找这种形式的解,把它放到我的方程中,弹出特征向量的关键方程。所以,我再次把这个,希望解,放到方程中。我会发现这个向量x1的a倍应该是λ1倍x1。哦,我有很多话要说。
但如果它成立,如果a乘以x1等于λ1乘以x1,那么当我把它放进去时,方程就成立了。我有一个解决办法。我有一个解决办法。当然,对于二阶问题,我正在寻找两种解决方案。所以完整的解决方案也是-,所以我可以得到它是线性的。所以我总是可以乘以一个常数。然后我会期待第二个,形式相同,e到其他特征值,就像其他指数乘以其他特征向量一样。金宝搏官方网站
这是我的前瞻性信息,解决方案就是这样的。我们在寻找一个特征值,和一个金宝搏官方网站特征向量。这是他们必须满足的关键方程。当我们把它放到微分方程中,使双方一致时,这个方程就出现了。这就是即将发生的事情。特征值和特征向量控制方程组的稳定性。
这就是全世界都在关注的,单个方程,偶尔,但通常是一个系统。这是特征值告诉我们的。那么特征值是正的吗?在这种情况下,我们爆炸了,不稳定。特征值是负的,或者至少实部是负的吗?这是我们生活的稳定情况。很好,谢谢。
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