微分方程与线性代数,2.4b:二阶阻尼方程
从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
一个阻尼强迫方程有一个特解y = Gcos(ωt -α)。阻尼比提供了洞察零解。金宝搏官方网站
我要回到第一个例子,但不是最简单的例子,一个二阶方程有一个振荡强迫项,cos t,我们必须知道这个问题的答案。这有点乱,但方法并不乱。方法很简单。
我们从矩形开始。我称之为矩形形式。它将带振幅的余弦函数和带振幅的正弦函数分离成两部分。如果我在求这个解,m和n是我想求的数字,我该怎么做?
这是一个待定系数的例子,M和N,确定它们的方法是把这个代入方程,匹配余弦项,找到M和N,我们找到M和N的方法,我们需要两个方程来表示两个量,M和N。
把这个代入。我会得到余弦函数。所以一边的余弦和另一边的余弦是一样的。通过求导,我得到一些sin它们应该等于0因为右边没有sin t。
我有两个方程,对应sin和cos。然后解出来。两个方程,两个未知数。我把答案写下来。
M包含C -的平方。M来自余弦。我们从这一项和这一项得到余弦。除以某个数字D,我写下来。
N等于B除以同样的d,现在我把d写下来,这是C - A平方的平方加上B平方。这是由M和N的两个方程得出的。
我只是解这些方程。这个D是2 × 2行列式如果我们考虑两个方程背后的线性代数。就是这样。所以现在答案是用A C B D表示的,也就是所有A B C的混合物,这就是解。
只是我总是想给你们展示解的另一种形式。在这种情况下,是一种更好的形式。因为最重要的物理量是大小。y会变多大?这个的振幅是多少?
这是正弦曲线。我们记得每个正弦函数都可以写成极坐标形式。y (t)等于G的振幅,增益,乘以cos (t)有位移,有滞后,有角度。现在我有两个数了。
这就是增益。这是相移。这是一个很吸引人的形式因为它只有一项。这两个数字,G和,被放入一个单独的项中,我们可以看到振荡的大小。
结果是什么呢?我不会把所有步骤都讲一遍。我把G写出来。G是,它来自这里,它是1 /根号d, G是M方加N方的平方根。
M方加N方的平方根。如果我代入M方和N方,就得到D / D方。我得到了答案。这就是增益。
我再写一遍,增益。因为你做到了。再看一遍。和往常一样,tan = N / M,也就是B / C - A ^ 2。我喜欢极坐标形式。
我觉得我应该举个例子。在这个视频中我没有做任何代数运算。但是你们知道代数是从哪里来的。它是用解的形式来代替的。当然,我们期望的形式是我们得到的形式,驱动频率和N不同。
嗯,没有。我想即使等于N也没问题,因为我们有阻尼项。这就是答案。
举个例子。为什么不举个例子呢?y ' ' + y ' + 2y = cos t,这是一个简单的例子。我取为1。这是。然后A是1 B是1 C是2。
我们可以求出所有的值。实际上,我认为M和N是1/2。顺便说一下,D等于1的平方加上1的平方。这是2的平方根。对不起。D等于2。1的平方加上1的平方。
我知道什么?我知道矩形的形式吗?是的。矩形是1/2。cos和sin都是1/2。1/2 (cos t + sint)这是矩形形式。
两个简单的东西,但我必须把它们加起来。在我看来,我不一定能看出cos和sin是如何相加的。但是正弦恒等式,极坐标形式,给了我答案。那么它的极坐标形式是什么呢?
G的增益,等于1 /√2。在最高点,cos和sin是一样的。它们都是1 /√2。我有两个。所以我得到1 /√2cos (t - / 4)是角度,相位滞后。
当我把cos和sin相加时,我得到正弦曲线是/(4)45°。这就是两种形式。在一个很好的例子中,我们得到了一个很好的答案。我们当然做到了。是的。
所以这就是——算出来了,基本上算出来了,原则上,算出来了——是我认为最重要的应用的解当强制项是余弦时。所以它给出了振荡运动。它给出了相移。给出了这些公式。
我唯一想补充的是,我需要对更好的表示法进行评论。所以我在这些公式中使用了A B c,但它们有质量,阻尼常数,弹簧常数的含义。M B和K。
它是这些输入的组合。让我用更好的符号来表示。或者我应该用工程符号代替A B C,它们代表质量,阻尼,弹簧常数。
好吧,用有意义的字母已经更好了。但有一点很小但很重要,那就是A, B, C, M, B, K这两种组合特别好。一个是固有频率我们已经见过了,√C / A。
根号K除以m,这就得到了A和c的一个重要组合,另一个是阻尼比。它叫做。阻尼比是B除以根号下4ac。
哈!你会问,这是从哪里来的?或者我可以用这些字母,B /√4mk。阻尼比,可以说,是正确的无量纲量。这个比率的维数是数字。
这两个量有相同的维数。我们可以看到,因为在二次公式中,你还记得二次公式中有√(b²- 4ac)吗?现在如果你看到一个公式里面有b²- 4ac,你就知道它们的单位一定是一样的。
否则,减法就是犯罪。所以它们有相同的比率和单位因此比率是无量纲的。我把这个词写下来。无量纲。
所以结论。我可以把答案写成n和的形式。我不会在这里这么做。那可以下次再说。
但我要说的是,既然我们已经找到了cos t最重要应用的解,既然我们找到了解,我们就可以把答案写成n,自然频率,和z,阻尼比的形式。谢谢你!
您也可以从以下列表中选择一个网站:
如何获得最佳的网站性能
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。