好了,是时候讲二阶方程了。一阶方程,我们已经仔细做过了。二阶方程就难了一步。但它们在自然界中存在,在各种应用中都有,因为它们包括加速度,二阶导数。
这是一个二阶方程,因为二阶导数。我经常会有常数a b和c,我们已经有足够的困难了,不允许它们改变。a b c常数,从零解开始。之后,右边会有一个强制项。但是今天,在这个视频中,零解。金宝搏官方网站
重点是,现在,新的是有两个零解。金宝搏官方网站所以y0是e的组合,它们都是指数。常数意味着解中存在指数。所以e的和指数次方,和另一个的a次方,希望是不同的指数。有时s1 = s2,这是特殊情况,我们会有一点变化。但这是典型的。
零解中有两个常数,c1和c2。金宝搏官方网站我们需要两个初始条件来确定这些常数。
之前,对于一阶方程,已知y (0)现在,当我们有加速度时,我们给出初速度,y ' (0)我可以用质数来简写导数吗?Y '(0)等于dydt,在0处。
所以两个条件在适当的时候,决定了这两个常数。再说一遍,二阶导数是y ' '这表示,在物理学中,它表示加速度,速度变化量,y '变化量,就是y ' '
在函数的图像中,y ' '在图像的弯曲中出现。因为弯曲是斜率的变化。弯曲是斜率的变化。斜率是y '一阶导数。为了测量y '的变化,曲线会弯曲,我用粉笔画一条切线。如果这个改变了,就得到y ' '二阶导。
好了,我准备好了一些例子。第一个例子——物理学和工程学中最基本的运动方程,我想说——叫做谐运动。b = 0,这是关键。B是0。
这是牛顿定律。a就是质量my ' '二阶导数。B是0。之后,b将是一个阻尼项,一个摩擦项,一个阻力项。但我们设它为0。这里是永动机。加上力,这是牛顿定律。Ma等于f f等于Ma。力是成正比的,有一个负号,所以它在这边是正的,正比于y,这就是方程。
没有y '项。我的' '加上ky = 0。从初始位置和初始速度开始,就像弹簧上下运动,或者钟摆前后运动。我们会看到它,所以它将是——好吧,我们想解这个方程。
我们看到解决方案了吗?金宝搏官方网站如果m和k等于1,假设m和k等于1。我要找的是二阶导数加上函数为0。函数的二阶导数是负的。我马上想到sint和cost, sin和cos,因为sin的一阶导数是cos。二阶导数是- sin。这里是负号,这里是正号,0。所以这里的特解是y是,这是零。金宝搏官方网站我在求零解。我称之为c1 * acos。
现在我要算出cos是什么?我想让余弦函数满足,零解,满足方程。我把它放进去。如果有√k / mt。
你会发现如果对cos求导两次,就会得到- cos,这正是我想要的。正因为如此,链会把这个平方根提出来两次。所以它提出了y ' '的因子k / m。这个因子,k / m, m消掉了我得到k和k匹配的k,这是一个解。
另一个解也是一样的。它是sin。sin(√k / m) t,值得用方框括起来。这就是我所说的自由谐运动。有些东西在振荡。在旋转问题中,物体以匀速绕圆周运动。
注意,这两个是不一样的。余弦与指数相关,但不完全相同。所以我可以这样写,用cos和sin。或者你会看到,我可以用复指数写出同样的公式。大家都记得这里允许复数的大公式是欧拉公式,it的指数等于cos + i乘以sin t,我再写一遍。
这就是解。它有两个零解。金宝搏官方网站他们是独立的。它们是不同的。我们有两个常数。因为我们的方程是线性的,我们可以安全地乘以任何常数,然后加上解,它们仍然是解,因为我们有一个线性方程,右边是0。金宝搏官方网站好。
当然,我们不能一直写根号下(k / m)我像大家一样,引入。这是欧米茄天然的。这里的n代表固有频率,时钟运行的频率。也就是k / m的平方根。
我们可以把方程重写一下。我把这个方程重写一下。我要除以m,没问题,除以m,然后有y ' '加上k / m,也就是n的平方,固有频率的平方。Y = 0。让我们把这个框起来,因为你不可能比这更好了。
常数a是1。常数b是0。常数c是已知的n方,取决于钟摆本身。好的,然后解,我复制这个金宝搏官方网站解。y0等于c1cos nt,当然,n是那个平方。c2 sin nt。
哦,好吧,等一下。根据初始条件,我可以算出c1和c2,对吧?初始条件,如果我代入t = 0,那么我想要得到y(0)的答案。已知的初始条件,钟摆开始摆动的地方,弹簧的位置,你拉弹簧y(0)的距离。你放手了。
在t = 0时,我代入t = 0,在t = 0时,这是0。忘掉sin。这是1。我发现c1应该是y (0)简单。C1是y (0)因为它给出了t = 0时的正确答案。
c2呢?我能算出c2吗?这涉及到初始速度,t = 0时的导数。因为sin的导数是cos,在t = 0时等于1,它的导数是sin,等于0。当我求y '的导数时,我求的是t = 0。我要求y ' (0)
但我不只要求y ' (0)你看到它在t = 0时的导数不对吗?因为当我对n求导的时候,这个常数,你记得这个常数,这个的导数会得到n,所以我最好在下面有n来抵消它。现在我明白了。
它告诉我运动,直到永远。能量是恒定的。势能加上动能,我可以说是能量。但我不会。这个运动永远持续下去,自由谐运动。好吧,它一直在继续。好的。同样,我可以把它写成复指数的形式。但我对这个形式很满意。很难打败这种形式。
好了,这里还需要做什么。首先,我们会有一段时间用到cos t。我最好把这个简单熟悉的函数画出来。这是cos t的图像,这是t,这是cos。这里是0。这是2,我看看得到什么。
所以我画cos (t)我画的是cos (t)而不是cos (t) cos t是从0到2。但是我有cos (t)所以cos (t)是我想要画的。从1开始,然后返回。它下降,上升,回到1。但是这个t是什么?周期,t是振荡的周期。这是秋千来回摆动所花费的时间。那是什么?我要画出cos (t)的图像。
t从0开始,t = 0。它上升到,我想要t,当我到这里时,t应该是2。对吧?然后我就完成了余弦函数,绕圆旋转一圈,钟摆前后移动一圈,在图中。t等于2,对吧?正确的。
周期是t,我认为是圆频率。单位是弧度/秒。这是单位。单位是非常重要的。这是,弧度/秒,当我乘以周期,t(秒)就得到2弧度。
现在,在工程师和日常使用中,有另一个频率叫做f,大概是频率。你应该知道f,它的频率单位是赫兹。所以f的单位是赫兹,H-E-R-T-Z,以他的名字命名。不是番茄酱的人,但是——哦,那是亨氏。很抱歉。
赫兹,不是汽车,这是我想说的,而是德国人,他很早就参与了这件事。f是多少?F * t = 1。而不是计算弧度的2,1只是计算完整的循环,完整的振荡。和相比,f要小2倍。所以f * t = 1。f = 1 / t = 2 / t,把这些放在一起,我说的是= 2乘以f。
所以当我们说有60个循环时,这就是我测量tf的单位。F的单位是周期,是周期/秒。一个周期,2弧度。这不是什么复杂的数学问题。但它比大量的数学运算更重要,只是为了把这些字母弄清楚。
这是大写的T,周期,和两个频率单位。一个是以弧度/秒为单位,另一个是f以完整周期/秒为单位。一个等于2乘以另一个。很好。好的。我们有这个。好的。
我想我们已经得到了关键的思想,对于非受迫运动,纯振荡永远持续下去。我把刚才提到的写下来。另一种表达yn的方法是用小写c, e ^ (i nt)和c2 e ^ (- i nt)
我想说的是,指数函数的这种形式,完全等价于正弦和余弦函数的这种形式。这种形式允许有两个常数,大写的C1和C2。这种形式有两个常数,1和c2。由此,我得到了这个。从这里,我得到了这个。所以这里确实有指数。关键信息是对于纯振荡,这些指数是纯虚指数,i nt。
这是最好的例子,最简单的例子,第一个例子。谢谢。
您也可以从以下列表中选择一个网站:
如何获得最佳的网站性能
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。