主要内容

条件方差模型

一般条件方差模型定义

考虑时间序列

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t ．在这里,zt是一组独立的、同分布的标准化随机变量。计量经济学工具箱™支持标准化高斯和标准化学生金宝appt创新分布。常数项, μ ，为平均偏移量。

一个条件方差模型指定创新方差的动态演化，

σ t 2 ＝ V 一个 r （ ε t | H t − 1 ） ，

在哪里Ht1是过程的历史。历史上包括:

  • 过去的方差, σ 1 2 ， σ 2 2 ， .．. ， σ t − 1 2

  • 过去的创新, ε 1 ， ε 2 ， .．. ， ε t − 1

条件方差模型适用于不显示显著自相关但序列相关的时间序列。创新系列 ε t ＝ σ t z t 是不相关的,因为:

  • E（εt) = 0。

  • E（εtε张茵) = 0t和 h ≠ 0.

然而,如果 σ t 2 取决于 σ t − 1 2 例如，那么εt取决于εt - 1，尽管它们并不相关。这种依赖在平方创新序列中表现为自相关， ε t 2 ．

提示

对于自相关和序列相关的时间序列建模，可以考虑使用复合条件均值和方差模型。

条件方差模型处理的金融时间序列的两个特征是:

  • 波动聚类．波动率是时间序列的条件标准差。条件方差过程中的自相关导致波动率聚类。GARCH模型及其变异模型在方差序列中进行自回归。

  • 杠杆效应．某些时间序列的波动性对大幅度下降的响应大于对大幅度上升的响应。这种不对称的集群行为被称为杠杆效应。EGARCH和GJR模型有杠杆条件来模拟这种不对称。

GARCH模型

的广义自回归条件异方差(GARCH)模型是对恩格尔方差异方差ARCH模型的推广<一个href="//www.tatmou.com/fr/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">［1］．如果一个系列表现出波动聚类，这表明过去的方差可能是当前方差的预测。

GARCH (P，问)模型是条件方差的自回归移动平均模型，具有P与滞后方差相关的GARCH系数问ARCH系数与滞后的平方创新相关。GARCH的形式(P，问)模型的计量经济学工具箱

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

σ t 2 ＝ κ + γ 1 σ t − 1 2 + .．. + γ P σ t − P 2 + α 1 ε t − 1 2 + .．. + α 问 ε t − 问 2 ．

请注意

的常数财产的garch模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

对于平稳性和正性，GARCH模型有以下约束条件:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 ， α j ≥ 0

  • ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 + ∑ j ＝ 1 问 α j < 1

要指定恩格尔的原始ARCH(问)模型，采用等效的GARCH(0，问)规范。

EGARCH模型

指数GARCH (EGARCH)模型是一种对条件方差过程的对数建模的GARCH变量。除了对对数建模外，EGARCH模型还有额外的杠杆条件来捕获波动性聚类中的不对称。

EGARCH (P，问)模型P与滞后对数方差项相关的GARCH系数问ARCH系数与滞后的标准化创新的大小相关问杠杆系数与签署，滞后的标准化创新。EGARCH的形式(P，问)模型的计量经济学工具箱

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

日志 σ t 2 ＝ κ + ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 日志 σ t − 我 2 + ∑ j ＝ 1 问 α j ［ | ε t − j | σ t − j − E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ］ + ∑ j ＝ 1 问 ξ j （ ε t − j σ t − j ） ．

请注意

的常数财产的egarch模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

在EGARCH方程中，与ARCH系数相关的期望值项的形式取决于分布zt：

  • 如果创新分布是高斯分布，那么

    E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ＝ E ｛ | z t − j | ｝ ＝ 2 π ．

  • 如果创新分布是学生的t与ν2个自由度，那么

    E ｛ | ε t − j | σ t − j ｝ ＝ E ｛ | z t − j | ｝ ＝ ν − 2 π Γ （ ν − 1 2 ） Γ （ ν 2 ） ．

工具箱处理EGARCH(P，问)模型作为ARMA模型 日志 σ t 2 ． 因此，为保证平稳，GARCH系数多项式的所有根， （ 1 − γ 1 l − .．. − γ P l P ） ，必须在单位圆外。

EGARCH模型与GARCH和GJR模型不同，因为它对方差的对数建模。通过对对数的建模，放宽了模型参数的正约束。然而，EGARCH模型的条件方差预测是有偏差的，因为Jensen不等式，

E （ σ t 2 ） ≥ 经验值 ｛ E （ 日志 σ t 2 ） ｝ ．

对于大多数应用程序来说，EGARCH(1,1)规范已经足够复杂了。对于EGARCH(1,1)模型，期望GARCH和ARCH系数为正，期望杠杆系数为负;大量意料之外的下行冲击应该会增加差异。如果得到与预期相反的信号，您可能会在推断波动性序列和预测时遇到困难(负ARCH系数可能会特别成问题)。在这种情况下，EGARCH模型可能不是应用程序的最佳选择。

GJR模型

GJR模型是一种GARCH变体，包括建模不对称波动性聚类的杠杆术语。在GJR公式中，较大的负变化比积极变化更有可能聚集。GJR型号以Glosten、Jagannathan和Runkle命名<一个href="//www.tatmou.com/fr/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[２]．GJR模型与阈值GARCH (TGARCH)模型有密切的相似之处——GJR模型是方差过程的递归方程，TGARCH是标准差过程的相同递归。

GJR (P，问)模型P与滞后方差相关的GARCH系数，问ARCH系数与滞后的平方创新有关问杠杆系数与负滞后创新的平方相关。GJR表格(P，问)模型的计量经济学工具箱

y t ＝ μ + ε t ，

在哪里 ε t ＝ σ t z t 和

σ t 2 ＝ κ + ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 σ t − 我 2 + ∑ j ＝ 1 问 α j ε t − j 2 + ∑ j ＝ 1 问 ξ j 我 ［ ε t − j < 0 ］ ε t − j 2 ．

指标函数 我 ［ ε t − j < 0 ］ = 1,如果 ε t − j < 0 ，否则为0。因此，杠杆系数适用于消极创新，给予消极变化额外的权重。

请注意

的常数财产的gjr模型对应于κ,抵消属性对应于μ．

对于平稳性和正性，GJR模型有以下约束条件:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 ， α j ≥ 0

  • α j + ξ j ≥ 0

  • ∑ 我 ＝ 1 P γ 我 + ∑ j ＝ 1 问 α j + 1 2 ∑ j ＝ 1 问 ξ j < 1

GARCH模型嵌套在GJR模型中。如果所有杠杆系数均为零，则GJR模型简化为GARCH模型。这意味着您可以使用似然比检验来测试GARCH模型与GJR模型。

参考文献

[1] Engle, Robert F. <英国通货膨胀方差估计的自回归条件异方差性>。费雪．第50卷，1982年，987-1007页。

[2] Glosten, L. R.， R. Jagannathan, D. E. Runkle。“关于期望值与股票名义超额收益波动的关系”。金融杂志．第48卷，第5期，1993年，1779-1801页。

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