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什么是状态空间模型?

状态空间模型的定义

状态空间模型使用状态变量的模型是用一组一阶微分或差分方程来描述系统，而不是用一个或多个n三阶微分或差分方程。状态变量x (t)可以从测量的输入-输出数据重建，但在实验中不测量自身。

状态空间模型结构是快速估计的好选择，因为它只需要指定一个输入，即模型秩序，n．的模型秩序一个整数是否等于的维数x (t)和与相应的线性差分方程中使用的延迟输入和输出的数量有关，但不一定等于。

连续时间的表示

在连续时间中定义参数化的状态空间模型通常更容易，因为物理定律通常用微分方程来描述。在连续时间下，状态空间的描述形式为:

$\begin{array}{l} \dot{x} （ t ）＝ F x （ t ） + G u （ t ） + \tilde{K} w （ t ） \\ y （ t ）＝ H x （ t ） + D u （ t ） + w （ t ） \\ x （ 0 ）＝ x 0 \end{array}$

的矩阵F，G，H,D包含有物理意义的元素，例如，材料常数。x0指定初始状态。

请注意

$\tilde{K}$ = 0给出了Output-Error模型的状态空间表示。有关更多信息，请参见什么是多项式模型?．

您可以使用时域和频域数据估计连续时间状态空间模型。

离散时间表示

离散时间状态空间模型结构通常写成创新的形式描述噪声:

$\begin{array}{l} x （ k T + T ）＝一个 x （ k T ） + B u （ k T ） + K e （ k T ） \\ y （ k T ）＝ C x （ k T ） + D u （ k T ） + e （ k T ） \\ x （ 0 ）＝ x 0 \end{array}$

在哪里T为采样时间，u (kT)输入的时间是瞬时的吗kT,y (kT)输出是在时间瞬间吗kT．

请注意

K=0给出了Output-Error模型的状态空间表示。有关Output-Error模型的更多信息，请参见什么是多项式模型?．

离散时间状态空间模型提供了输入和输出之间相同类型的线性差分关系线性ARMAX模型，但被重新排列，使得表达式中只有一次延迟。

你不能用连续时间频域数据来估计一个离散时间状态空间模型。

创新形式使用单一噪声源，e (kT)，而不是独立的过程和测量噪音。如果您对过程和测量噪声有先验知识，您可以使用线性灰盒估计来识别具有结构化独立噪声源的状态空间模型。有关更多信息，请参见识别具有独立过程和测量噪声描述的状态空间模型．

连续时间和离散时间状态矩阵的关系

离散状态空间矩阵之间的关系一个，B，C，D,K以及连续时间状态空间矩阵F，G，H，D, $\tilde{K}$ 对于分段常数输入，式如下:

$\begin{array}{l} 一个＝ e^{F T} \\ B ＝ \int_{0}^{T} e^{F τ} G d τ \\ C ＝ H \end{array}$

这些关系假设输入在时间间隔内是分段不变的 $k T \leq t < （ k + 1 ） T$ ．

确切的关系K和 $\tilde{K}$ 是复杂的。但是，对于较短的采样时间T，下面的近似效果很好:

$K ＝ \int_{0}^{T} e^{F τ} \tilde{K} d τ$

传递函数的状态空间表示

对于线性模型，一般模型描述如下:

$y ＝ G u + H e$

G是接收输入的传递函数吗u到输出y．H是描述可加输出噪声模型特性的传递函数。

传递函数和离散时间状态空间矩阵，由下式给出:

$\begin{array}{l} G （问）＝ C （^{问我_{n x} - 一个） - 1} B + D \\ H （问）＝ C （^{问我_{n x} - 一个） - 1} K + 我_{n y} \end{array}$

在这里,我_nx是nx——- - - - - -nx单位矩阵,nx是状态数。我_纽约是纽约——- - - - - -纽约单位矩阵,纽约是y和e．

连续时间情况下的状态空间表示也是类似的。

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