泰勒

泰勒级数

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语法

T =泰勒(f, var)

T =泰勒(___、名称、值)

描述

例子

T=泰勒(f,var)接近f与泰勒级数展开的f点到第五阶var = 0。如果你不指定var,然后泰勒使用默认的变量所决定的symvar (f, 1)。

例子

T=泰勒(f,var,一个)接近f泰勒级数展开的f在点var =一个。

例子

T=泰勒(___,名称,值)指定选项使用一个或多个名称参数除了任何输入参数组合在以前的语法。例如,您可以指定扩展点,截断秩序,或订单模式的泰勒级数展开。

例子

全部折叠

找到麦克劳林级数的单变量表达式

打开生活的脚本

发现指数的麦克劳林级数展开式,正弦和余弦函数的第五阶。

信谊xT1 =泰勒(exp (x))

T1 =
                       
                         $\frac{x^{5}}{120年} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

T2 =泰勒(sin (x))

T2 =
                       
                         $\frac{x^{5}}{120年} - - - - - - \frac{x^{3}}{6} + x$

T3 =泰勒(cos (x))

T3 =
                       
                         $\frac{x^{4}}{24} - - - - - - \frac{x^{2}}{2} + 1$

您可以使用sympref多项式函数来修改符号的输出顺序。重新显示升序的多项式。

sympref (“PolynomialDisplayStyle”,“提升”);T1

T1 =
                       
                         $1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120年}$

T2

T2 =
                       
                         $x - - - - - - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120年}$

T3

T3 =
                       
                         $1 - - - - - - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}$

显示格式设置使用sympref持续通过你的当前和未来的MATLAB®会话。恢复默认值指定“默认”选择。

sympref (“默认”);

指定扩展点

打开生活的脚本

找到泰勒级数扩张 $x = 1$ 对于这些功能。默认的扩展点是0。指定一个不同的扩张点,使用ExpansionPoint。

信谊xT =泰勒(日志(x), x,“ExpansionPoint”,1)

T =
                       
                         $x - - - - - - \frac{{(x - - - - - - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{3}}{3} - - - - - - \frac{{(x - - - - - - 1)}^{4}}{4} + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{5}}{5} - - - - - - 1$

另外,作为第三个参数指定扩展点泰勒。

T =泰勒(acot (x), x, 1)

T =
                       
                         $\frac{π}{4} - - - - - - \frac{x}{2} + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{2}}{4} - - - - - - \frac{{(x - - - - - - 1)}^{3}}{12} + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{5}}{40} + \frac{1}{2}$

指定截断秩序

打开生活的脚本

找到麦克劳林级数展开f = sin (x) / x。默认截断订单是6。的泰勒级数近似表达式没有五度,所以泰勒与四级多项式近似表达式。

信谊xf = sin (x) / x;T6 =泰勒(f (x);

使用订单控制截断秩序。例如,近似相同的表达式的订单7和9。

T8 =泰勒(f, x,“秩序”8);T10 =泰勒(f, x,“秩序”10);

情节原来的表达式f和它的近似T6,T8,T10。注意近似的准确性取决于截断秩序。

fplot ([T6 T8 T10 f]) xlim网格(4 [4])在传奇(sin (x) / x的近似误差O (x ^ 6) ',…sin (x) / x的近似误差O (x ^ 8) ',…sin (x) / x的近似误差O (x ^ {10})”,…“sin (x) / x”,“位置”,“最佳”)标题(泰勒级数展开的)

$图包含一个坐标轴对象。标题为泰勒级数展开的坐标轴对象包含4 functionline类型的对象。这些对象代表sin (x) / x的近似误差O (x ^ 6), sin (x) / x的近似误差O (x ^ 8), sin (x) / x的近似误差O (x ^ {10}), sin (x) / x。$

指定顺序与相对或绝对截断

打开生活的脚本

找到这个表达式的泰勒级数展开。默认情况下,泰勒使用绝对秩序,截断计算系列。

信谊x泰勒(T = 1 / exp (x) - exp (x) + 2 * x, x,“秩序”5)

T =
                       
                         $- - - - - - \frac{x^{3}}{3}$

找到相对的泰勒级数展开截断使用OrderMode。对于一些表情,相对截断秩序提供了更精确的近似。

泰勒(T = 1 / exp (x) - exp (x) + 2 * x, x,“秩序”5,“OrderMode”,“相对”)

T =
                       
                         $- - - - - - \frac{x^{7}}{2520年} - - - - - - \frac{x^{5}}{60} - - - - - - \frac{x^{3}}{3}$

找到多元的麦克劳林级数表达式

打开生活的脚本

找到这个多元的麦克劳林级数表达式。如果你不指定变量的向量,泰勒对待f作为一个独立变量的函数。

信谊xyzf = sin (x) + cos (y) + exp (z);T =泰勒(f)

T =
                       
                         $\frac{x^{5}}{120年} - - - - - - \frac{x^{3}}{6} + x + 因为 (y) + e^{z}$

发现多元麦克劳林级数展开通过指定变量的向量。

信谊xyzf = sin (x) + cos (y) + exp (z);泰勒(T = f (x, y, z))

T =
                       
                         $\frac{x^{5}}{120年} - - - - - - \frac{x^{3}}{6} + x + \frac{y^{4}}{24} - - - - - - \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{5}}{120年} + \frac{z^{4}}{24} + \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{2}}{2} + z + 2$

您可以使用sympref多项式函数来修改一个象征性的输出顺序。重新显示升序的多项式。

sympref (“PolynomialDisplayStyle”,“提升”);T

T =
                       
                         $2 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{4}}{24} + \frac{z^{5}}{120年} - - - - - - \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{24} + x - - - - - - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120年}$

显示格式设置使用sympref持续通过你的当前和未来的MATLAB会话。恢复默认值指定“默认”选择。

sympref (“默认”);

为多元表达式指定扩展点

打开生活的脚本

发现多元泰勒级数展开通过指定变量的向量和向量的值定义扩展点。

信谊xyf = y * exp (x - 1) - x *日志(y);泰勒(T = f (x, y) [1],“秩序”3)

T =
                       
                         $x + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(y - - - - - - 1)}^{2}}{2}$

如果您指定作为标量的扩张点一个,泰勒将标量转换成一个向量的向量长度相同的变量。所有元素的扩展向量相等一个。

泰勒(T = f (x, y) 1,“秩序”3)

T =
                       
                         $x + \frac{{(x - - - - - - 1)}^{2}}{2} + \frac{{(y - - - - - - 1)}^{2}}{2}$

在泰勒近似误差估计

打开生活的脚本

发现当近似函数的误差估计 $f (x) = 日志 (x + 1)$ 利用泰勒级数展开。,考虑到泰勒近似7日订单(截断订单 $n = 8$ 在扩展点) $一个 = 0$ 。

错误或剩余的泰勒近似是由拉格朗日形式:

$R_{n - - - - - - 1} (x) = \frac{f^{n} (c)}{n!} {(x - - - - - - 一个)}^{n} 。$

计算误差的上界估计可以通过寻找一个积极的实数 $米$ 这样 $| f^{n} (c) | \leq 米$ 对所有 $c$ 之间的 $一个$ 和 $x$ 。

找到函数的泰勒级数展开 $f (x) = 日志 (x + 1)$ 到7日通过指定订单作为8。

信谊x日志(f = x + 1)

f =
                        $日志 (x + 1)$

T =泰勒(f,“秩序”,8)

T =
                       
                         $\frac{x^{7}}{7} - - - - - - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{5}}{5} - - - - - - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - - - - - - \frac{x^{2}}{2} + x$

在泰勒近似估计错误,首先计算术语 $f^{8} (c)$ 。

信谊cfn (c) =潜艇(diff (f, 8), x, c)

fn (c) =
                       
                         $- - - - - - \frac{5040年}{{(c + 1)}^{8}}$

的积极的价值观 $x$ 误差的上界估计,可以计算通过使用关系 $| f^{8} (c) | \leq 5040年$ (因为 $c$ 必须是一个积极的价值之间 $0$ 和积极的 $x$ )。接下来,找到错误的上界估计rup (x)利用拉格朗日 $R_{7} (x)$ 和的关系 $| f^{8} (c) | \leq 5040年$ 。

rup (x) = 5040 * x ^ 8 /阶乘(8)

rup (x) =
                       
                         $\frac{x^{8}}{8}$

评估点的泰勒级数展开 $x = 0 。 5$ 。找到错误的上界估计泰勒近似。

Teval =潜艇(T x 0.5)

Teval =
                       
                         $\frac{909年}{2240年}$

征求=双(rup (0.5))

征求= 4.8828 e-04

相比较而言,评价准确的功能 $x = 0 。 5$ 并找到其余的泰勒近似。

函数宏指令=潜艇(0.5 f (x)

函数宏指令=
                       
                         $日志 (\frac{3}{2})$

R =双(abs (feval-Teval))

R = 3.3846 e-04

输入参数

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`f`- - - - - -近似的输入
符号表达式|符号函数|象征性的向量|象征性的矩阵|象征性的多维数组

近似的输入,指定为一个象征性的表达或功能。它也可以是一个向量,矩阵,或符号表达式的多维数组或函数。

`var`- - - - - -扩展变量
符号变量

扩展变量指定为一个符号变量。如果你不指定var,然后泰勒使用默认的变量所决定的symvar (f, 1)。

`一个`- - - - - -扩展点
0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

扩展点,指定为一个数字,或一个象征性的数字,变量,函数,或表达式。不能依靠扩张变量的扩张点。你也可以指定扩展点作为名称参数。如果指定扩展点两种方式,那么名称参数优先。

名称-值参数

指定可选的双参数作为Name1 = Value1,…,以=家,在那里的名字参数名称和吗价值相应的价值。名称-值参数必须出现在其他参数,但对的顺序无关紧要。

R2021a之前,用逗号来分隔每一个名称和值,并附上的名字在报价。

例子:泰勒(日志(x), x, ExpansionPoint, 1,“秩序”,9)

`ExpansionPoint`- - - - - -扩展点
0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

扩展点,指定为一个数字,或一个象征性的数字,变量,函数,或表达式。不能依靠扩张变量的扩张点。你也可以使用输入参数指定的扩展点一个。如果指定扩展点两种方式,那么名称参数优先。

`订单`- - - - - -截断的泰勒级数展开
6(默认)|正整数|象征性的正整数

截断的泰勒级数展开,指定为一个正整数或象征性的正整数。泰勒的泰勒级数近似计算顺序n - 1。截断的顺序n的指数吗O术语:O(varⁿ)。

`OrderMode`- - - - - -命令模式指示器
`“绝对”`(默认)|`“相对”`

订单模式指示器,指定为“绝对”或“相对”。该指标指定是否使用绝对或相对顺序计算时,泰勒多项式近似。

绝对的秩序截断计算系列的订单。相对顺序n意味着的指数var在计算系列范围从领先的秩序米最高的指数m + n - 1。在这里m + n的指数var在O术语:O(var^{m + n})。

提示

如果你同时使用第三个参数一个和ExpansionPoint指定扩展点,然后指定的值ExpansionPoint生活的全部。
如果var是一个向量,那么扩张点一个必须是一个标量或矢量长度相同的吗var。如果var是一个向量,一个是一个标量,然后呢一个扩展成一个向量长度相同的是吗var与所有元素等于一个。
如果扩展点是无穷或负无穷,泰勒计算劳伦级数扩张,这是一个幂级数1 / var。
您可以使用sympref多项式函数来修改符号的输出顺序。
如果泰勒不能找到泰勒级数展开,然后使用系列找到更一般的皮瑟级数展开。

版本历史

之前介绍过的R2006a

另请参阅

主题

泰勒级数

泰勒

语法

描述

例子

找到麦克劳林级数的单变量表达式

指定扩展点

指定截断秩序

指定顺序与相对或绝对截断

找到多元的麦克劳林级数表达式

为多元表达式指定扩展点

在泰勒近似误差估计

输入参数

f- - - - - -近似的输入符号表达式|符号函数|象征性的向量|象征性的矩阵|象征性的多维数组

var- - - - - -扩展变量符号变量

一个- - - - - -扩展点0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

名称-值参数

ExpansionPoint- - - - - -扩展点0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

订单- - - - - -截断的泰勒级数展开6(默认)|正整数|象征性的正整数

OrderMode- - - - - -命令模式指示器“绝对”(默认)|“相对”

更多关于

泰勒级数展开

麦克劳林级数展开

提示

版本历史

另请参阅

主题

`f`- - - - - -近似的输入
符号表达式|符号函数|象征性的向量|象征性的矩阵|象征性的多维数组

`var`- - - - - -扩展变量
符号变量

`一个`- - - - - -扩展点
0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

`ExpansionPoint`- - - - - -扩展点
0(默认)|数量|象征性的数量|符号变量|符号函数|符号表达式

`订单`- - - - - -截断的泰勒级数展开
6(默认)|正整数|象征性的正整数

`OrderMode`- - - - - -命令模式指示器
`“绝对”`(默认)|`“相对”`