我们刚刚看到了像MATLAB中的Bode这样的函数如何快速轻松地直接从系统的动态方程或输入输出传递函数中创建频率响应图。作为控制工程师的关键不仅仅是能够绘制这些图。重要的是要很好地理解这些幅度和相位轨迹告诉我们的关于系统行为和稳定性的信息。
博德图最初是由亨德里克·博德博士在20世纪30年代为贝尔实验室工作时开发的，就在第二次世界大战之前。这家伙是一个杰出的控制工程师，他提出了，在当时，是突破性的想法，使用渐近幅度和相位图来促进稳定性分析和控制系统在频域的设计。
记住，这是在电脑出现之前，所以我猜当时的工程师们被计算尺困住了，用它们手动计算所有的对数。渐近方法背后的思想非常简单，但却非常强大。它们将帮助我们更好地了解这些地块实际上是如何建造的。
最简单的构造是一个纯积分器，它对应于拉普拉斯域中的1/s。如果用jw代替s，函数G就变成了负虚轴上的向量。负号是因为分子分母同时乘以-1的平方根。
这个矢量的相位角恒定为-90度，大小为1/w。注意当频率从0到无穷时，向量的大小从无穷到0。用db表示，分数的log等于分子的log，在这个例子中是1，减去分母的log，在这个例子中是w。
我们知道log(1) = 0。所以这部分消失了，波德图的幅度轨迹就变成了一条线，因为我们把它画在一个水平轴上，代表log w，注意这条线的斜率是-20 db /单位，在这个例子中是频率十年。相位保持恒定和-90度，并且与频率无关。
相反，如果我们看一个纯微分器，它在拉普拉斯域中只对应s，因为w现在在分子上了。在这种情况下，震级将是一条斜率为每十年+20 db的直线。相位是恒定的正90度。
现在让我们继续我们的第一种构造艺术，像一个时间常数为的单极。再一次，如果我们想看频率响应，我们需要用jw代替s。这个向量的模等于log1，也就是0，减去20乘以分母的模的对数。
给人的第一印象是很难画出来。但如果你考虑这个表达式，用渐近的方式，把图表分成两部分，当频率远低于极点时，在这种情况下，低于1/，每秒辐射，乘以w会变得非常小，数字1会主导表达式。
注意，这使得G接近于1/1，它是实轴上的向量。这意味着相位会非常接近于0，它的大小的对数也会非常接近于0。当频率远高于极点时，w将成为主导，在这种情况下，G变得接近于一个负的，纯虚向量。这意味着相位将接近于-90度，大小的对数将接近于一条直线，以每十年-20度的速度滚动并越过零，w等于1/tau。
注意，实际的波德图与我们的渐近逼近偏差很小。很明显，我们将在1/tau的临界值附近看到最大的差异。从图中，我们还可以看到相位角大约需要20年的时间才能移动90度。所以如果你想要角度更精确一点，我们可以假设相位在极点值前后每十年下降45度。
使用相同的方法，我们可以看到单个0将产生类似的跟踪。只有在这种情况下，因为0在分子里，相位会移动+90度，磁体的斜率会是+20 db / 10。
在这一点上，我想给你一个感觉，如何所有这些工作在一个更互动的方式。我们现在看到的是恒定传递函数为1时的波德图。我们的系统G，在这里，等于1。这意味着log 1，也就是0 dB的大小和0相位，因为它是一个正实数。
让我们看看当我加一个极点会发生什么。我们设接近1弧度每秒。我们可以看到，这个震级图是如何立即崩溃的，每十年-20 db。相移到-90度。
如果我把极点向左或向右移动，使它变快或变慢，我所做的就是改变那种频率。我们擦掉这个极点，代入一个0。正如预期的那样，现在我们看到了一个正的幅度和+90的相位。注意纯0的幅值在高频处趋于无穷大。
这是非常不受欢迎的行为，因为除了其他不好的事情之外，它很可能会放大我们系统中的各种高频噪声。通常情况下，如果你有一个纯微分器或者一个0，它总是伴随着至少一个极点在频率范围的某个地方使增益树下降。
由于图的叠加，记住乘法变成了对数尺度上的和。
0的+ 20db斜率被极点的- 20db斜率抵消了。与相位相似，0的+90度方向被极的-90度方向拉下。如果我想在高频处得到一些衰减，我所要做的就是在第一个极点附近再加一个极点。现在速率的作用变成了每十年- 20 db。
如果你想要更大幅度的下降，但频率更高，只要再加一根杆子，砰，每十年-40度。无论如何，我想你会同意这个交互设计工具比计算尺和图纸要好得多。我不知道你是怎么想的，但我愿意相信Bode博士，顺便说一下，他在河对岸的哈佛大学教了很多年的控制，他会真的喜欢MATLAB。
