反馈回路的稳定性

稳定性通常意味着所有内部信号保持有界。这是控制系统的标准要求，以避免失去控制和损坏设备。对于线性反馈系统，稳定性可以通过观察闭环传递函数的极点来评估。以SISO反馈循环为例:

图1：SISO反馈回路。

单位环路增益K，可以计算闭环传递函数T使用：

特遣部队([G =。5 1.3]，[1 1.2 1.6 0]);T =反馈(G, 1);

得到…的极点T、类型

极(T)

ans=-0.2305+1.3062i-0.2305-1.3062i-0.7389+0.0000i

反馈回路k = 1是稳定的，因为所有极点都有负的实部。

稳定到什么程度才算稳定?

通过检查闭环极点，我们可以对稳定性进行二元评估。在实践中，了解稳定性的鲁棒性（或脆弱性）更为有用。鲁棒性的一个指标是在失去稳定性之前，环路增益可以改变多少。您可以使用根轨迹图来估计K循环稳定的值：

rlocus（G）

点击轨迹与y轴相交的点，可以看到这个反馈回路是稳定的

这个范围表明k = 1在失去稳定性之前，环路增益可以增加270%。

增益和相位裕度

环路增益的变化只是鲁棒稳定性的一个方面。通常，不完善的设备建模意味着增益和相位都不准确。因为建模误差在增益交叉频率（开环增益为0dB的频率）附近最具破坏性，这也关系到在此频率下可以容忍多少相位变化。

相位裕度测量在增益交叉频率处需要多少相位变化才能失去稳定性。同样，增益裕度测量在增益交叉频率处需要多少相对增益变化才能失去稳定性。这两个数字一起给出了“安全裕度”的估计值对于闭环稳定性，稳定裕度越小，稳定性越脆弱。

您可以如下方式在波德图上显示增益和相位裕度。首先创造情节:

博德（G），网格

然后，右键单击绘图并选择特性->最小稳定裕度子菜单。最后，单击蓝点标记。生成的绘图如下所示：

这表明增益裕度约为9db，相位裕度约为45度。相应的闭环阶跃响应表现出约20%的超调和一些振荡。

步骤(T)、标题('k=1的闭环响应')

如果我们将增益增加到k = 2时，稳定裕度降为

[Gm，Pm]=保证金（2*G）；GmdB=20*log10（Gm）%增益裕度，以分贝计下午%相位裕度（度）

GmdB = 2.7471 Pm = 8.6328

而且闭环响应的阻尼很差，这是一种近乎不稳定的迹象。

步骤（反馈（2*G，1）），标题('k=2的闭环响应')

具有多个增益或相位交叉的系统

一些系统有多个增益交叉或相位交叉频率，这导致多个增益或相位裕度值。例如，考虑反馈循环

图2：具有多相位交叉的反馈回路

的闭环响应k = 1是稳定的：

G=tf（20[17]）*tf（[13.27.2]，[1-1.20.8]）*tf（[1-8400]，[133700]）；T=反馈（G，1）；步骤（T），标题('k=1的闭环响应')

为了评估该回路的稳定性，绘制其波特响应图：

博德（G），网格

然后，右键单击绘图并选择特性->所有稳定裕度显示所有交叉频率和相关稳定裕度的子菜单。结果图如下所示。

请注意，有两个180度相位交叉，相应的增益裕度分别为-9.35dB和+10.6dB。负增益裕度表示通过降低增益失去稳定性，而正增益裕度表示通过增加增益失去稳定性。这通过绘制正负6dB ga的闭环阶跃响应来确认关于k = 1:

k1 = 2;T1 =反馈(G * k1, 1);k2 = 1/2;T2 =反馈(G * k2, 1);步骤(T)“b”T1,“r”, T2,“g”12)、联想(“k = 1”,“k = 2”,“k = 0.5”)

该图显示了在增益值较小和较大时振荡的增加。

您可以使用该命令allmargin计算所有稳定裕度。请注意，收益边际是用收益比表示的，而不是dB。使用mag2db将值转换为dB。

m = allmargin(G) GainMargins_dB = mag2db(m. gainmargin)

m=带字段的结构：GainMargin:[0.3408 3.3920]GMFrequency:[1.9421 16.4807]PhaseMargin:68.1178 PMFrequency:7.0762 DelayMargin:0.1680 DMFrequency:7.0762 Stable:1 GainMargins_dB=-9.3510.6091