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多元和有理样条

多元样条函数

通过张量积构造可以从一元样条中得到多元样条。例如,一个b型的三元样条由

$f （ x ， y ， z ）＝ \sum_{u ＝ 1}^{U} \sum_{v ＝ 1}^{V} \sum_{w ＝ 1}^{W} B_{u ， k} （ x ） B_{v ， l} （ y ） B_{w ，米} （ z ） {一个}_{u ， v ， w}$

与B_{u, k}B_{v, l}B_w,米单变量b样。相应地，这条样条是有序的k在x的订单l在y，并且有秩序米在z．类似地，张量积样条的ppform是由每个变量中的断点序列来指定的，因此对于每个超矩形，都是一个系数数组。此外，在单变量的情况下，系数可以是向量，通常是2向量或3向量，这使得它可以表示，例如ℜ中的某些曲面^3.．

一个非常不同的二元样条是利用薄板样条．这是这种形式的函数

$f （ x ）＝ \sum_{j ＝ 1}^{n - 3.} Ψ （ x - c_{j} ） {一个}_{j} + x （ 1 ） {一个}_{n - 2} + x （ 2 ） {一个}_{n - 1} + {一个}_{n}$

ψ(x) = |x|²日志|x|²给出了薄板样条基函数，和|x|表示向量的欧几里德长度x．这里，为方便起见，用表示自变量x,但x现在是一个向量的两个组件,x(1)和x(2)，发挥前面表示的两个自变量的作用x和y．相应地,这些网站c_j点在ℜ²．

薄板样条是双变量的平滑样条函数，意味着薄板样条最小化

$p \sum_{我＝ 1}^{n - 3.} | y_{我} - f c_{我}^{2} | + （ 1 - p ） \int （ {| D_{1} D_{1} f |}^{2} + 2 {| D_{1} D_{2} f |}^{2} + {| D_{2} D_{2} f |}^{2} ）$

所有足够光滑的函数f．在这里,y_我数据站点是否给出了数据值c_我，p是平滑参数，和D_jf表示的偏导数f关于x（j）.积分是整个ℜ²．和的上限，n-3，反映了薄板样条的3个自由度与其多项式部分相关的事实。

薄板样条是stform的函数，这意味着，在某些多项式项之前，它们是一个固定函数Ψ的任意或分散翻译Ψ(·-c)的加权和。这种所谓的薄板样条的基函数是特殊的，因为它是径向对称的，这意味着Ψ(x)只取决于欧几里德长度|x|,x．因此，薄板花键也被称为rbf或径向基函数。看到构造和使用形式样条为更多的信息。

理性的样条函数

一个有理样条曲线的有这种形式的函数吗r（x) =年代（x）／w（x),与年代和w样条曲线，特别是，w一个标量值样条，而年代通常是向量值。

有理样条之所以吸引人，是因为它可以精确地描述各种基本的几何形状，如圆锥截面，作为有理样条的范围。例如，一个圆可以用只有两个部分的二次有理样条来描述。

在这个工具箱中，有一个附加的要求年代和w具有相同的形式，甚至相同的顺序，具有相同的结或断顺序。这使得存储有理样条成为可能r如同普通的样条R其价值在x是向量[年代（x)；w（x)]。根据这两条样条是b型还是ppform，这种表示在这里称为有理样条的rBform或rpform。

它很容易获得r从R．例如,如果v是价值R在x,然后v (1: end-1) /(结束)是价值r在x．另一个例子是getting衍生品的r从这些的R．因为年代＝或者说是莱布尼茨法则告诉我们

$D^{米} 年代＝ \sum_{j ＝ 0}^{米} （ \begin{matrix} 米 \\ j \end{matrix} ） D^{j} w D^{米 - j} r$

在哪里D^米年代的米th的导数年代．

因此,如果v (:, j)包含D^j1R（x），j= 1…米+ 1,然后

$（（（ v （ 1 ：结束 - 1 ，米 + 1 ） - \sum_{j ＝ 1}^{米} （ \begin{matrix} 米 \\ j \end{matrix} ） v （结束， j + 1 ） v （ 1 ：结束 - 1 ， j + 1 ）） / v （结束， 1 ））$

提供的值D^米R（x）.