平面中的样条

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这个例子展示了如何使用spmak，spcrv，cscvn和rscvn命令从曲线拟合工具箱™在平面上构造样条曲线。这包括绘制切线和计算曲线围成的面积。

一个简单的样条曲线

曲线拟合工具箱可以处理向量值样条函数。d向量值单变量样条提供了d空间中的曲线。在这种模式下,d = 2是最常见的，因为它给出了平面曲线。

下面是一个例子，在这个例子中，一个具有二维系数的样条被构造并绘制。

节= [1,1:9 9];spmak(结点，repmat([0 0;1 0;1 1;0 1]， 2,1)。”);t = linspace (8121);值= fnval(曲线、t);:情节(值(1)、价值观(2:)“线宽”2);轴([-。1.4 - 4。2 1.2),轴平等的标题(样条曲线的）;持有在

警告

您可能已经注意到这个示例没有使用fnplt绘制曲线，而不是绘制曲线上的一些点fnval．下面是代码:

t = linspace (8121);值= fnval(曲线、t);:情节(值(1)、价值观(2:),“线宽”,2)

使用fnplt直接使用这个特殊的样条曲线可以得到下图中的红色曲线。

fnplt(曲线,“r”5);标题(完整的样条曲线，红色）

解释吗?

样条是4阶的，但结的末端在结序列中

结

节= 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9

只有多重性2。因此，这个结序列的所有4阶b样条在基本区间的端点处都是0。这使得曲线在(0,0)处开始和结束。

补救措施

因为，在这种情况下，我们真正感兴趣的只是与参数区间[3 ..]对应的曲线段。，我们可以使用fnbrk提取这部分，然后用黄色标出来fnplt．

Mycv = fnbrk(curve，[3 7]);fnplt (mycv“y”, 2.5);标题(“有趣的样条曲线，用黄色表示”）

被曲线包围的区域

因为你现在有一个样条曲线mycv，你可以很容易地计算出这个封闭曲线所包围的面积，如下所示。

面积= diff (fnval (fnint (．..fncmb (fncmb (mycv [0, 1]),‘*’曾经(fncmb (mycv [1 0])))．..), fnbrk (mycv,“间隔”））)

面积= -0.8333

稍加努力，你就能认出这个是积分的值

int y(t) d(x(t)) = int y(t) Dx(t) dt

在样条的基本区间内mycv,(x (t), y (t)): = fnval (mycv t)曲线上与参数值对应的点t．在这里,fncmb (mycv [1,0])，fncmb (mycv [0,1])描述样条曲线的两个组成部分，即标量值样条x和y．

同样，曲线大致是一个半径为1/2的圆。因此，大致上，

disp(π/ 4)

0.7854

但是为什么计算面积负？因为当一个人在曲线上移动时，曲线所包围的面积是在左边的t．为了证明这一点，我们画一些切向量。

添加一些切向量

我们重画曲线，并在某些点上画出曲线的切向量。

持有从fnplt (mycv“y”, 2.5);持有在t = 3: .4:6.2;CV = fnval(curve, t);CDV = fnval(fnder(curve)， t);箭袋(简历(1:),简历(2:),cdv (1:), cdv (2:));标题(有一些切线的样条曲线((-)轴。1.4 - 4。2 1.2),轴平等的

曲线与直线的交点

如果你想确定样条曲线和直线的交点y = x，下面的代码会给出它们，并在曲线内绘制直线的线段:

削减= fnval (mycv,．..意思是(fnzeros (fncmb (fncmb (mycv [0,1]),“- - -”fncmb (mycv (1,0))))));削减:情节(削减(1),(2,:)“y”，“线宽”, 2.5)从标题(带有切线和横切的样条曲线）

控制多边形和相应的样条曲线

样条曲线被广泛地用于生成插图，其中没有什么比光滑的曲线的某种粗略想象的形状是必需的。为此，曲线拟合工具箱包含一个特殊命令，spcrv，它可以独立于工具箱的其他部分使用。

给定一个平面上的点序列，或者一个顺序k，spcrv通过重复插入中点结，生成有序的样条曲线k其控制多边形由给定序列指定。

下图显示了这样一个控制多边形，以及相应的3阶样条曲线。

积分= [0 0;1 0;1 1;0 2;1 1;1 0;0 1;0 2]。”;值= spcrv(点,3);情节(点(1:),点(2:)“k”）;轴([-2 2.25 -2.1 2.2]);持有在:情节(值(1)、价值观(2:)“r”，“线宽”, 1.5);传奇({控制多边形的二次样条曲线的}，“位置”，“本身”）;

请注意，曲线在控制多边形的中点接触到每个分段，并遵循控制多边形勾勒出的形状。

提高订单

提高订单k将拉曲线远离控制多边形，使它更平滑，但也更短。在这里，我们添加了相应的4阶样条曲线。

value4 = spcrv(点,4);情节(value4 (1:), value4 (2:)“b”，“线宽”2);传奇({控制多边形的二次样条曲线的．..三次样条曲线的}，“位置”，“本身”）;

CSCVN

另一方面，为了得到插值曲线，你可以使用cscvn命令，它提供一个参数化的“自然”三次样条曲线。

fnplt (cscvn(点),‘g’, 1.5);传奇({控制多边形的二次样条曲线的．..三次样条曲线的插值样条曲线的}，．..“位置”，“本身”）;

通过在第二个控制点(1,0)附近添加点(.95，-.05)，我们可以创建一个插值样条曲线，在那里转得更快。

Np = size(points, 2);Fnplt (cscvn([points(:，1)] [.95;-．05)点(:,2:np)]),“米”, 1.5);情节(.95、0。‘*’）;传奇({控制多边形的二次样条曲线的．..三次样条曲线的插值样条曲线的．..“更快转弯”(1,0)}，．..“位置”，“本身”）;持有从

RSCVN

你也可以得到一条由圆弧组成的切线-连续曲线，它通过平面上给定的点序列，并且任意地与点上给定的法向正交。命令rscvn提供这样的曲线。

例如，下面生成一个圆

C = rscvn([-1 1 -1;0 0 0]，[1 1;0 0]);

正如情节所示。

fnplt (c);轴([-1.05 1.05 -1.05 1.05])，轴平等的,轴从

c是一个仅由两部分组成的二次有理样条，如下面的命令所示。

[form, order, breaks] = fnbrk(c，“f”，“o”，“b”）

1 . form = 'rBform' order = 3 break = 0

使用这个工具很容易生成引人注目的模式，只需使用几个数据点。举个例子，这是贝尔法斯特阿尔斯特博物馆(Ulster Museum)的铜制三氏奖章(Bronze Triskele Medallion)的设计版本，据说是很久以前用圆形弧线做的。

页= [0 (7);5.4, 3, 6.9, 2.75, 2.5， .5, 5];α= 2 *π/ 3;ca = cos(α);sa =罪(α);C = [ca sa;-sa ca];D = [0 0 .05 -.05;1 -1 .98 .98];D = [D c* D];阴= rscvn ([pp (: [7, 1:3]), c *页(:,3:4)、pp (:, 3)], d (:, [1 2 1 4 7 5 1]));fnplt(阴)在殷,fnplt (fncmb (c)), fnplt (fncmb(阴,c '))杨= rscvn ([pp(:, 6)、pp (:, 6), pp (:, 5), c *页(:,4)],[d (:, (2 1 1)), c (:, 2)));Fnplt (yang)， Fnplt (fncmb(yang,c))， Fnplt (fncmb(yang,c’))轴([-7.2 7.2 -7.2 7.2])，轴平等的,轴从,保持从