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算术和缩放的建议

算术运算和定点缩放

接下来的章节描述了算术运算和定点缩放之间的关系，并提供了一些适合于定点设计的基本建议。对于每一个算术运算，

中描述的一般[斜率偏差]编码方案扩展使用。
根据两个输入的缩放，自动选择结果的缩放。换句话说，缩放是继承了．
缩放的选择是基于
- 最小化结果的算术运算次数
- 最大化结果的精度
此外，仅二值点缩放被作为一般编码方案的特例提出。

在嵌入式系统中，硬件接口(ADC或DAC)上变量的缩放是固定的。然而，对于大多数其他变量，你可以选择缩放来给出最好的设计。当缩放不动点变量时，记住这一点很重要

缩放选择取决于所模拟的特定设计。
没有最好的扩展方法。所有的选择都有相关的优点和缺点。本节的目的是向您展示这些优点和缺点。

除了

考虑两个现实世界值的相加:

$V_{一个} ＝ V_{b} + V_{c} ．$

这些值由中描述的一般[斜率偏差]编码方案表示扩展：

$V_{我} ＝ F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} ．$

在不动点系统中，数值相加的结果是找到变量问_一个：

$问_{一个} ＝ \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} + \frac{B_{b} + B_{c} - B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} ．$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过简单的加法计算的吗问_b而且问_c．
一般来说，有两个常数和一个变量的乘法，两个加法和一些额外的位移位。

继承缩放速度

在求和的比例的过程中，一个合理的目标是简化计算。简化计算应该减少操作的数量，从而提高执行速度。以下选择可以帮助最小化算术运算的数量:

集B_一个＝B_b+B_c．这就消除了一个附加项。
集F_一个＝F_b或F_一个＝F_c．任何一种选择都可以消去两个常数乘以变量乘法中的一个。

得到的公式为

$问_{一个} ＝ 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c}$

或

$问_{一个} ＝ \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} ．$

这些方程似乎是等价的。然而，你对四舍五入和精度的选择可能会使其中一个选择脱颖而出。为了进一步简化问题，您可以选择E_一个＝E_c或E_一个＝E_b．这将消除一些位移位。

最大精度的继承缩放

在寻找和的比例的过程中，一个合理的目标是最大的精度。如果知道变量的范围，就可以确定最大精度缩放。最大化精度说明可以确定不动点运算的范围max (V_一个）而且分钟(V_一个）．对于求和，可以确定范围

$\begin{array}{l} 最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ）＝最小值（ {\tilde{V}}_{b} ） + 最小值（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ 马克斯（ {\tilde{V}}_{一个} ）＝马克斯（ {\tilde{V}}_{b} ） + 马克斯（ {\tilde{V}}_{c} ）． \end{array}$

现在可以推导出最大精度斜率:

$\begin{matrix} F_{一个} 2^{E_{一个}} ＝ \frac{马克斯（ {\tilde{V}}_{一个} ） - 最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ）}{2^{w {年代}_{一个}} - 1} \\ ＝ \frac{F_{一个} 2^{E_{b}} （ 2^{w {年代}_{b}} - 1 ） + F_{c} 2^{E_{c}} （ 2^{w {年代}_{c}} - 1 ）}{2^{w {年代}_{一个}} - 1} ． \end{matrix}$

在大多数情况下，输入和输出字的大小都远大于1，斜率变为

$F_{一个} 2^{E_{一个}} \approx F_{b} 2^{E_{b} + w {年代}_{b} - w {年代}_{一个}} + F_{c} 2^{E_{c} + w {年代}_{c} - w {年代}_{一个}} ，$

这只取决于输入和输出单词的大小。相应的偏差为

$B_{一个} ＝最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ） - F_{一个} 2^{E_{一个}} 最小值（问_{一个} ）．$

偏置的值取决于输入和输出是有符号数还是无符号数。

如果输入和输出都是无符号的，那么这些变量的最小值都是零，偏差减少到一个特别简单的形式:

$B_{一个} ＝ B_{b} + B_{c} ．$

如果输入和输出都是有符号的，那么偏差就变成

$\begin{array}{l} B_{一个} \approx B_{b} + B_{c} + F_{b} 2^{E_{b}} （ - 2^{w {年代}_{b} - 1} + 2^{w {年代}_{b} - 1} ） + F_{c} 2^{E_{c}} （ - 2^{w {年代}_{c} - 1} + 2^{w {年代}_{c} - 1} ）， \\ B_{一个} \approx B_{b} + B_{c} ． \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

对于二进制点的缩放，求问_一个结果在这个简单的表达式中:

$问_{一个} ＝ 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} ．$

这种缩放选择只导致一次添加和一些位移位。避免任何乘法是二进制点缩放的一大优势。

请注意

的减法的值产生的结果与值相加产生的结果类似。

积累

价值的积累与加法密切相关:

$V_{一个＿ n e w} ＝ V_{一个＿ o l d} + V_{b} ．$

发现问_{a_new}包括一个常数和一个变量的一次乘法，两次加法，以及一些位移动:

$问_{一个＿ n e w} ＝问_{一个＿ o l d} + \frac{F_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} + \frac{B_{b}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} ．$

定点实现的重要区别是输出的缩放与第一个输入的缩放是相同的。

Binary-Point-Only扩展

对于二进制点的缩放，求问_{a_new}结果在这个简单的表达式中:

$问_{一个＿ n e w} ＝问_{一个＿ o l d} + 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} ．$

这个缩放选项只涉及一次添加和一些位移动。

请注意

负的价值积累所产生的结果与价值积累所产生的结果类似。

乘法

考虑两个现实世界值的乘法:

$V_{一个} ＝ V_{b} V_{c} ．$

这些值由中描述的一般[斜率偏差]编码方案表示扩展：

$V_{我} ＝ F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} ．$

在定点系统中，值的乘法结果是找到变量问_一个：

$\begin{matrix} 问_{一个} ＝ \frac{F_{b} F_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{b} + E_{c} - E_{一个}} 问_{b} 问_{c} + \frac{F_{b} B_{c}}{F_{一个}} 2^{E_{b} - E_{一个}} 问_{b} \\ + \frac{F_{c} B_{b}}{F_{一个}} 2^{E_{c} - E_{一个}} 问_{c} + \frac{B_{b} B_{c} - B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} ． \end{matrix}$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过简单的乘法计算的吗问_b而且问_c．
一般来说，有一个常数和两个变量的乘法，两个常数和一个变量的乘法，三次加法，以及一些额外的位移位。

继承缩放速度

可以通过以下选项来减少算术运算的数量:

集B_一个＝B_bB_c．这就消除了一个加法操作。
集F_一个＝F_bF_c．这简化了三重乘法——这当然是方程中最难实现的部分。
集E_一个＝E_b+E_c．这消除了一些位移动。

得到的公式为

$问_{一个} ＝问_{b} 问_{c} + \frac{B_{c}}{F_{c}} 2^{- E_{c}} 问_{b} + \frac{B_{b}}{F_{b}} 2^{- E_{b}} 问_{c} ．$

最大精度的继承缩放

如果知道变量的范围，就可以确定最大精度缩放。最大化精度说明可以确定不动点运算的范围

$马克斯（ {\tilde{V}}_{一个} ）$

而且

$最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ）．$

对于乘法，可以确定从的范围

$\begin{matrix} 最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ）＝最小值（ V_{l l} ， V_{l H} ， V_{H l} ， V_{H H} ）， \\ 马克斯（ {\tilde{V}}_{一个} ）＝马克斯（ V_{l l} ， V_{l H} ， V_{H l} ， V_{H H} ）， \end{matrix}$

在哪里

$\begin{array}{l} V_{l l} ＝最小值（ {\tilde{V}}_{b} ） \cdot 最小值（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{l H} ＝最小值（ {\tilde{V}}_{b} ） \cdot 马克斯（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{H l} ＝马克斯（ {\tilde{V}}_{b} ） \cdot 最小值（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{H H} ＝马克斯（ {\tilde{V}}_{b} ） \cdot 马克斯（ {\tilde{V}}_{c} ）． \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

对于二进制点的缩放，求问_一个结果在这个简单的表达式中:

$问_{一个} ＝ 2^{E_{b} + E_{c} - E_{一个}} 问_{b} 问_{c} ．$

获得

考虑一个常数和一个变量的乘法

$V_{一个} ＝ K V_{b} ，$

在哪里K是一个叫做增益的常数。自V_一个由一个常数和一个变量相乘的结果，发现问_一个是一般定点乘法公式的简化版本:

$问_{一个} ＝（ \frac{K F_{b} 2^{E_{b}}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}} ）问_{b} + （ \frac{K B_{b} - B_{一个}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}} ）．$

注意括号中的项可以离线计算。因此，一个常数和一个变量只有一次乘法和一次加法。

为了实现上面的等式而不将其更改为更复杂的形式，常数需要使用二进制点格式进行编码。对于这些常量中的每一个，范围都是只有一个值的简单情况。尽管范围很小，但求最大精度的二值点公式仍然有效。最大精度表示是最有用的选择，除非有避免任何移动的压倒性需要。常数的编码是

$\begin{array}{l} （ \frac{K F_{b} 2^{E_{b}}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}} ）＝ 2^{E_{X}} 问_{X} \\ （ \frac{K B_{b} - B_{一个}}{F_{一个} 2^{E_{一个}}} ）＝ 2^{E_{Y}} 问_{Y} \end{array}$

由此得出公式

$问_{一个} ＝ 2^{E_{X}} 问_{X} 问_{B} + 2^{E_{Y}} 问_{Y} ．$

继承缩放速度

可以通过以下选项来减少算术运算的数量:

集B_一个＝KB_b．这就消去了一个常数项。
集F_一个＝KF_b而且E_一个＝E_b．这使得另一个常数项为单位。
得到的公式很简单

$问_{一个} ＝问_{b} ．$

如果位的数量不同，那么处理潜在的溢出或执行符号扩展是唯一可能的操作。

最大精度的继承缩放

除非输出比输入的比特数少，否则最大精度的缩放不需要与速度的缩放不同。如果是这种情况，那么应该通过每丢失一个比特的斜率除以2来避免饱和。这可以防止饱和，但会导致舍入。

部门

值分割是在定点嵌入式系统中应该避免的操作，但它可能在某些地方发生。因此，考虑两个现实世界值的划分:

$V_{一个} ＝ V_{b} / V_{c} ．$

这些值由中描述的一般[斜率偏差]编码方案表示扩展：

$V_{我} ＝ F_{我} 2^{E_{我}} 问_{我} + B_{我} ．$

在不动点系统中，对值的划分是为了找到变量问_一个：

$问_{一个} ＝ \frac{F_{b} 2^{E_{b}} 问_{b} + B_{b}}{F_{c} F_{一个} 2^{E_{c} + E_{一个}} 问_{c} + B_{c} F_{一个} 2^{E_{一个}}} - \frac{B_{一个}}{F_{一个}} 2^{- E_{一个}} ．$

这个公式表明

一般来说,问_一个不是通过简单的除法计算出来的吗问_b通过问_c．
一般来说，一个常数和一个变量有两次乘法，两次加法，一个变量除以一个变量，一个常数除以一个变量，还有一些额外的位移位。

继承缩放速度

可以通过以下选项来减少算术运算的数量:

集B_一个= 0．这就消除了一个加法操作。
如果B_c= 0，然后设置分数斜率F_一个＝F_b/F_c．这就消去了一个常数乘以变量的乘法。

得到的公式为

$问_{一个} ＝ \frac{问_{b}}{问_{c}} 2^{E_{b} - E_{c} - E_{一个}} + \frac{（ B_{b} / F_{b} ）}{问_{c}} 2^{- E_{c} - E_{一个}} ．$

如果B_c≠0，那么就无法给出明确的建议。

最大精度的继承缩放

如果知道变量的范围，就可以确定最大精度缩放。最大化精度说明可以确定不动点运算的范围

$马克斯（ {\tilde{V}}_{一个} ）$

而且

$最小值（ {\tilde{V}}_{一个} ）．$

对于除法，可以确定从的范围

非零分母在哪里

$\begin{array}{l} V_{l l} ＝最小值（ {\tilde{V}}_{b} ） / 最小值（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{l H} ＝最小值（ {\tilde{V}}_{b} ） / 马克斯（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{H l} ＝马克斯（ {\tilde{V}}_{b} ） / 最小值（ {\tilde{V}}_{c} ）， \\ V_{H H} ＝马克斯（ {\tilde{V}}_{b} ） / 马克斯（ {\tilde{V}}_{c} ）． \end{array}$

Binary-Point-Only扩展

对于二进制点的缩放，求问_一个结果在这个简单的表达式中:

$问_{一个} ＝ \frac{问_{b}}{问_{c}} 2^{E_{b} - E_{c} - E_{一个}} ．$

请注意

最后两个公式涉及到问_一个，除以0和0除以0是可能的。在这些情况下，硬件将给出一些默认行为，但您必须确保这些默认响应为嵌入式系统提供有意义的结果。

总结

从之前对一般[斜率偏差]编码方案中缩放的定点变量的分析中，可以得出这样的结论

加法、减法、乘法和除法都非常复杂，除非对偏差和斜率做出一定的选择。
只使用二进制点的缩放可以保证更简单的数学计算，但通常会牺牲一些精度。

注意，前面的公式没有显示如下:

常量和变量用有限的位数表示。
变量要么是有符号的，要么是无符号的。
四舍五入和溢出处理方案。您必须在实现实际的定点实现之前做出这些决定。

另请参阅

扩展