阶梯悬臂梁设计问题

一端支承阶梯式悬臂梁，自由端施加荷载，如下图所示。金宝app梁必须能够承受给定的载荷，金宝app，在一个固定的距离的支持。金宝app梁的设计者可以改变梁的宽度()身高()。我们假设悬臂的每个部分都有相同的长度，．

射束体积

光束的体积，，是各部分体积的总和

设计约束:1 -弯曲应力

考虑一个悬臂梁，其中心位于其自由端的横截面中心处，一点处的弯曲应力。在梁中，由以下等式给出

在哪里弯矩为,距离终端负载和的距离是梁的面积惯性矩。

现在，在图中所示的阶梯式悬臂梁中，梁各截面的最大弯矩为,在那里为到端荷载的最大距离，，用于梁的每一段。因此，最大应力为-梁的第四部分，，由

最大应力出现在梁的边缘，．面积惯性矩梁的截面为

将其代入方程中给了

悬臂各部分的弯曲应力不应超过最大许用应力，.因此，我们最终可以陈述五个弯曲应力约束（悬臂的每一步一个）

设计约束:2 -端部挠度

悬臂梁的端部挠度可以使用Castigliano第二定理计算，该定理指出

在哪里为梁的挠度，为由于施加的力而存储在光束中的能量，．

储存在悬臂梁中的能量为

在哪里作用力的力矩是在．

考虑到对于悬臂梁，我们可以把上面的方程写成

在哪里面积的转动惯量是-悬臂的一部分。对这个积分求值得到下面的表达式．

应用卡斯蒂利亚诺定理，给出了梁的端部挠度

现在，悬臂的末端挠度，，应小于最大允许挠度，，这给了我们以下约束条件。

设计约束:3 -长宽比

对于悬臂的每一步，长宽比不得超过最大允许的长宽比，．也就是说,

对于

描述优化问题

我们现在能够陈述问题，以找到最优参数的阶梯式悬臂梁给定的约束条件。

让,,,,,,,,和

减少：

主题:

横梁的第一步只能加工到最近的厘米。也就是说,和必须是整数。其余的变量是连续的。变量的边界如下:-

这个问题的设计参数

对于本例中我们要解决的问题，梁必须支撑的端部荷载为金宝app．

梁的长度和最大端部挠度为:

梁每一步的最大允许应力，

梁每一步的杨氏模量，

求解混合整数优化问题

我们现在解决中描述的问题描述优化问题．

定义适应度和约束函数

检查MATLAB文件悬臂体积，m和cantileverConstraints.m查看适应度和约束函数是如何实现的。

关于线性约束的一个注意事项：当线性约束指定为ga，通常通过A.,B,Aeq和贝基输入。在这种情况下，我们通过非线性约束函数来指定它们。这是因为在这个例子的后面，一些变量将变成离散的。当问题中存在离散变量时，在非线性约束函数中指定线性约束要容易得多。另一种方法是修改线性约束矩阵，使其在变换的变量空间中工作，这不是平凡的，也许是不可能的。同样，在混合整数中ga求解器中，线性约束与非线性约束没有任何区别，不管它们是如何指定的。

设置范围

创建包含下限的向量(磅)及上限约束(乌兰巴托).

lb=[1302.4452.445130130]；ub=[5653.1603.160565565]；

设置选项

为了得到更精确的解，我们增加PopulationSize,最大世代选项的默认值，并减少EliteCount和功能公差选项。这些设置会导致ga使用更大的填充(增加PopulationSize)，增加设计空间的搜索(减少EliteCount)，并一直进行，直到其最佳成员的变化非常小(小功能容忍度)。我们还指定一个plot函数来监视惩罚函数的值为ga进步。

注意，有一个限制的集合ga解决混合整数问题时可用的选项-有关详细信息，请参阅全局优化工具箱用户指南。

选择= optimoptions (@ga,．..“人口规模”, 150,．..“MaxGenerations”, 200,．..“精英账户”10．..“FunctionTolerance”，1e-8，．..“PlotFcn”, @gaplotbestf);

调用ga解决问题

我们现在可以打电话了ga解决问题。在问题陈述中和是整数变量。我们通过传递下标向量来指定它(1 2)来ga在非线性约束输入之后，在期权输入之前。我们还在这里播种和设置随机数生成器以保证重现性。

rng (0,“龙卷风”）;[xb, fb, exitflag] = ga (@cantileverVolume 10 , [], [], [], [],．..lb, ub， @ cantileconstraints， [1 2]， opts);

优化已终止：超过最大生成数。

分析结果

如果问题有整数约束，ga哈贝马斯在内部。特别地，问题中的适应度函数被处理约束的惩罚函数所代替。对于可行种群成员，惩罚函数与适应度函数相同。

解决方案从ga如下所示。请注意，距离支撑最近的截面被约束为具有宽度(金宝app)身高()，它是一个整数值，该约束已被GA遵守。

显示(xb);

xbest =列1至7 3.0000 60.0000 2.8326 56.6516 2.5725 51.4445 2.2126列8至10 44.2423 1.7512 34.9805

我们也可以问ga以返回光束的最佳体积。

fprintf('\nCost函数由ga = %g\n'返回、fb);

由ga = 63196.6返回的代价函数

添加离散非整数变量约束

工程师们现在被告知，悬臂的第二和第三个台阶的宽度和高度只能从标准设置中选择。在本节中，我们将展示如何将这个约束添加到优化问题中。注意，添加了这个约束后，这个问题与[1]中解决的问题是相同的。

首先，我们陈述将添加到上述优化中的额外约束

为了解决这个问题，我们需要能够指定变量,,和离散变量。指定一个组件从集合中获取离散值、优化与取值范围为1到1的整数变量,并使用作为离散值。指定范围（1到)，设1为下界和作为上限。

首先，我们转换离散变量的上下限。每个集合有4个成员，我们将离散变量映射到[1,4]范围内的整数。为了把这些变量映射成整数，我们把每个变量的下界设为1上界设为4。

lb=[13013130]；ub=[56544565]；

的转换(整数)版本,,和将被传递到适应度和约束函数，当ga解算器。为了正确计算这些函数，,,和需要转换为这些函数中给定的离散集合中的一个元素。要了解这是如何完成的，请检查MATLAB文件cantileverVolumeWithDisc.m,cantileverConstraintsWithDisc.m和cantileverMapVariables.m．

现在我们可以调用ga解决离散变量问题。在这种情况下都是整数。这意味着我们传递了下标向量1:6来ga定义整数变量。

rng (0,“龙卷风”）;[xbestDisc, fbestDisc, exitflagDisc] = ga(@悬臂volumewithdisc，．..10、[]、[]、[]、[]、[]、lb、ub、@悬臂约束带圆盘，1:6，选项）；

优化已终止：超过最大生成数。

分析结果

xbestDisc(三6)是回来ga作为整数（即处于转换状态）。我们需要反转转换以检索其工程单位中的值。

xbestDisc = cantileverMapVariables (xbestDisc);显示(xbestDisc);

xbestDisc =列1至7 3.0000 60.0000 3.1000 55.0000 2.8000 50.000 2.3036列8至10 43.6153 1.7509 35.0071

和以前一样，解决方案返回ga尊重和是整数，我们也可以看到,从一套[2.4,2.6,2.8,3.1]厘米和,从一套[45,50,55,60]厘米中选择。

回想一下，我们在变量上添加了额外的约束x（3）,x（4）,x (5)和x（6）。正如预期的那样，当这些变量上存在额外的离散约束时，最优解的最小体积更大。进一步注意，[1]中报告的解的最小体积为我们找到了一个近似于[1]的解。

fprintf('\nCost函数由ga = %g\n'返回，fbestDisc）；

ga返回的成本函数=65226.5

总结

这个例子演示了如何使用遗传算法求解器，ga，求解具有整数约束的非线性优化问题。这个例子也显示了如何处理离散变量的问题，在问题的公式化。

参考文献

[1] 结构设计离散变量优化综述，P.B.Thanedar，G.N.Vanderplaats，J.Struct.Engine.，121（3），301-306（1995）