解决单一PDE

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这个示例展示了如何制定、计算和绘制单个PDE的解决方案。

考虑偏微分方程

$π^{2} \frac{\partial u}{\partial t} ＝ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} ．$

该等式在间隔内定义 $0 \leq x \leq 1$ 为次 $t \geq 0$ ．在 $t ＝ 0$ ，解决方案满足初始条件

$u （ x ， 0 ）＝罪（ π x ）．$

同样,在 $x ＝ 0$ 和 $x ＝ 1$ 时，解满足边界条件

$u （ 0 ， t ）＝ 0 ，$

$π e^{- t} + \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 ．$

要解决MATLAB中的该等式，您需要编写方程式，初始条件和边界条件，然后在调用求解器之前选择合适的解决方案网格pdepe．您可以将所需的函数作为本地函数包含在文件的末尾(如这里所做的)，或者将它们作为单独的、命名的文件保存在MATLAB路径的一个目录中。

代码方程式

在你编写方程式之前，你需要把它重写成pdepe解决者预期。标准形式pdepe预计是

$c （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ） \frac{\partial u}{\partial t} ＝ x^{- 米} \frac{\partial}{\partial x} （ x^{米} f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）） + 年代（ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）$ ．

用这种形式写入，PDE成为

$π^{2} \frac{\partial u}{\partial t} ＝ x^{0} \frac{\partial}{\partial x} （ x^{0} \frac{\partial u}{\partial x} ） + 0$ ．

把这个等式写成合适的形式，你就可以读出相关的术语了:

$米＝ 0$

$c （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ π^{2}$

$f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ \frac{\partial u}{\partial x}$

$年代（ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ 0$

现在，您可以创建一个代码等式的函数。函数应该有签名[c，f，s] = pdex1pde（x，t，u，dudx）：

x是独立的空间变量。
t为独立时间变量。
u因变量是否被微分x和t．
dudx是部分空间衍生物 $\partial u / \partial x$ ．
输出c，f，和年代对应于所期望的标准PDE方程形式的系数pdepe．这些系数在输入变量方面编码x，t，u，和dudx．

结果，该示例中的等式可以由该功能表示：

功能[c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,dudx)f = dudx;s = 0;结束

(注意:在示例的最后，所有函数都包含为局部函数。)

代码初始条件

接下来，编写返回初始条件的函数。初始条件在第一次值应用Tspan（1）．函数应该有签名情况= pdex1ic (x)．

对应的函数是

功能x = sinx (x);结束

代码边界条件

现在，写一个计算边界条件的函数。对于区间上的问题 $一个 \leq x \leq b$ ，边界条件适用于所有 $t$ 和任何一种 $x ＝一个$ 或者 $x ＝ b$ ．求解器所期望的边界条件的标准形式是

$p （ x ， t ， u ） + 问（ x ， t ） f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）＝ 0 ．$

以本标准形式重写边界条件并读取系数值。

为 $x ＝ 0$ ，等式是

$u （ 0 ， t ）＝ 0 \to u + 0 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} ＝ 0 ．$

系数:

$p （ 0 ， t ， u ）＝ u$
$问（ 0 ， t ）＝ 0$

为 $x ＝ 1$ ，等式是

$π e^{- t} + \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 \to π e^{- t} + 1 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} （ 1 ， t ）＝ 0 ．$

系数:

$p （ 1 ， t ， u ）＝ π e^{- t}$
$问（ 1 ， t ）＝ 1$

由于边界条件函数表示为 $f （ x ， t ， u ， \frac{\partial u}{\partial x} ）$ ，此术语已在主PDE函数中定义，您无需在边界条件函数中指定这段方程。您只需要指定值 $p （ x ， t ， u ）$ 和 $问（ x ， t ）$ 在每一个边界。

边界函数应该使用函数签名[pl, ql,公关,qr] = pdex1bc (xl, ul, xr, ur, t)：

投入xl和ul对应于 $u$ 和 $x$ 对于左边界。
投入xr和你的对应于 $u$ 和 $x$ 右边界。
t为独立时间变量。
输出pl和ql对应于 $p （ x ， t ， u ）$ 和 $问（ x ， t ）$ 左边界( $x ＝ 0$ 对于这个问题)。
输出公关和qr对应于 $p （ x ， t ， u ）$ 和 $问（ x ， t ）$ 对于正确的边界（ $x ＝ 1$ 对于这个问题)。

本例中的边界条件用函数表示:

功能[pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t) pl = ul;ql = 0;Pr = PI * exp(-t);qr = 1;结束

选择解决方案网

在解这个方程之前，你需要指定网格点 $（ t ， x ）$ 你想要的pdepe评估解决方案。将点指定为vectorst和x．向量t和x在求解器中扮演不同的角色。特别地，解的代价和精度强烈地依赖于向量的长度x．然而，计算对向量中的值的敏感性要小得多t．

对于这个问题，使用一个网格，在空间间隔[0,1]中有20个等距点，5个值t从时间间隔[0,2]。

x = linspace (0, 1, 20);t = linspace(0、2、5);

解决方程

最后，利用对称性求解方程米，微分方程，初始条件，边界条件，网格x和t．

m = 0;索尔= pdepe (m, @pdex1pde, @pdex1ic @pdex1bc x, t);

pdepe返回3-D数组的解索尔,在那里索尔(i, j, k)近似k溶液的第一个分量 $u_{k}$ 评估t(我)和x（j）．的大小索尔是长度(t)-经过-长度（x）-经过-长度(情况),因为情况为每个解决方案组件指定初始条件。对于这个问题,u只有一个组件，所以索尔是一个5 × 20矩阵，但一般来说，你可以提取k使用命令解决方案组件u = sol（：，：，k）．

从中提取第一个解决方案组件索尔．

u =索尔(:,:1);

策划解决方案

创建解决方案的表面图。

冲浪（X，T，U）标题（'数值解决方案用20个网格点'）xlabel（“距离x”）ylabel（“t”）

图中包含一个坐标轴。带有20个网格点计算的标题数值溶液的轴包含类型表面的对象。

选择此问题的初始条件和边界条件，以便将存在分析解决方案

$u （ x ， t ）＝ e^{- t} 罪（ π x ）．$

用相同的网格点绘制分析解决方案。

冲浪(x, t, exp (- t)‘* sin(π* x))标题('真正的解决方案绘制了20个网格点'）xlabel（“距离x”）ylabel（“t”）

图中包含一个坐标轴。用20个网格点绘制的标题为“真解”的轴包含一个类型表面的对象。

现在，比较数字和分析解决方案金宝搏官方网站 $t_{f}$ 的最终值 $t$ ．在这个例子中 $t_{f} ＝ 2$ ．

plot（x，u（结束，:)，'o'，x，exp（-t（结束））* sin（pi * x））标题（t = 2时的解)传说(“数值，20网格点”，“分析”，'地点'，“南”）xlabel（“距离x”）ylabel（“u (x, 2)”）

图中包含一个坐标轴。标题为“解在t = 2”的轴包含2个类型为line的对象。这些对象代表数值，20网格点，解析。

本地函数

这里列出的是PDE Solver PDepe调用来计算解决方案的本地辅助功能。或者，您可以将这些函数保存为MATLAB路径上的目录中的自己文件。

功能[c，f，s] = pdex1pde（x，t，u，dudx）％方程来解决c = pi ^ 2;f = dudx;s = 0;结束%----------------------------------------------功能情况= pdex1ic (x)％ 初始条件u0 = sin（pi * x）;结束%----------------------------------------------功能[pl, ql,公关,qr] = pdex1bc (xl, ul, xr, ur, t)％ 边界条件pl = ul;ql = 0;Pr = PI * exp(-t);qr = 1;结束%----------------------------------------------

另请参阅

pdepe

解决单一PDE

代码方程式

代码初始条件

代码边界条件

选择解决方案网

解决方程

策划解决方案

本地函数

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