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使用四元数SLERP的低通滤波器定位

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这个例子展示了如何使用球面线性插值(SLERP)来创建四元数序列和低通滤波器噪声轨迹。SLERP是一种常用的计算机图形技术，用于创建旋转对象的动画。

SLERP概述

考虑一对四元数q_0美元和q_1美元．球面线性插值允许您创建一个四元数序列之间的变化平稳q_0美元和q_1美元以恒定的角速度。SLERP使用一个插值参数h它可以在0和1之间变化，并决定输出四元数与两者的距离有多近q_0美元或q_1美元．

四元数SLERP的原始公式是由Ken Shoemake给出的[1):

$Slerp(q_0,q_1,h) = q_1(q_1^{-1} q_2)^h$

带正弦波的替代公式(用于slerp函数实现):

$ $ Slerp (q_0 q_1, h) = \压裂{\罪((1小时)\θ)}{\罪\θ}q_0 + & # xA;\压裂{\罪(h \θ)}{\罪\θ}q_1 $ $

在哪里\θ美元是四元数部分的点积。请注意,$ q_1 = dist(q_0, q_1)/2．

SLERP与四元数部分的线性插值

考虑下面的例子。从欧拉角建立两个四元数。

Q0 =四元数([-80 10 0]，“eulerd”，“ZYX股票”，“帧”）;Q1 =四元数([80 70 70]，“eulerd”，“ZYX股票”，“帧”）;

找到一个四元数的方法q0处来第一季度,指定slerp参数为0.3。

P30 = slerp(q0, q1, 0.3);

要查看插值的四元数的欧拉角表示，使用eulerd函数。

eulerd (e,“ZYX股票”，“帧”）
Ans = -56.6792 33.2464 -9.6740

创造一个平滑的轨迹q0处和第一季度,指定slerp插值参数是由0和1之间间隔均匀的数字组成的向量。

dt = 0.01;h = (0: dt: 1)。';trajSlerped = slerp(q0, q1, h);

比较了SLERP算法与轨迹之间的结果q0处和第一季度，对每个四元数部分使用简单线性插值(LERP)。

partsLinInterp = interp1([0;1]， compact([q0;q1])， h，“线性”）;

注意，线性插值不给出单位四元数，所以它们必须归一化。

trajLerped =正常化(四元数(partsLinInterp));

计算每一种方法的角速度。

avSlerp = helperQuat2AV(trajSlerped, dt);avLerp = helperQuat2AV(trajLerped, dt);

画出两组角速度。注意，SLERP的角速度是恒定的，但它会因线性插值而变化。

sp = HelperSlerpPlotting;sp.plotAngularVelocities (avSlerp avLerp);

SLERP以恒定的速率产生平滑的旋转。

SLERP低通滤波

SLERP还可以用于制作更复杂的函数。在这里，SLERP用于低通滤波噪声轨迹。

旋转噪声可以通过由带有噪声的旋转向量组成四元数来构造。

rcurr = rng (1);σ= 1 e 1;噪声= sigma .* (rand(numel(h)， 3) - 0.5);qnoise =四元数(noiserv,“rotvec”）;rng (rcurr);

破坏轨道trajSlerped有噪声时，用噪声矢量增量旋转轨迹qnoise．

trajNoisy = trajSlerped .* qnoise;

您可以使用如下形式的单极滤波器平滑实值信号:

$ y_k = y_{k-1} + \alpha(x_k - y_{k-1}) $

这个公式表示新的过滤器状态求和$ k美元应该向当前输入移动吗xk美元步长与当前输入和当前滤波器状态之间的距离成正比美元y_ {k - 1} $．

这种方法的精神告诉四元数序列如何可以低通滤波。为了做到这一点，两者都经销和slerp使用功能。

的经销函数返回两个四元数应用的旋转差的弧度测量值。的范围经销函数是半开区间[0,pi)。

的slerp函数的作用是将过滤器状态导向当前输入。当输入和电流滤波器状态之间的差异很大时，它更倾向于输入经销而少向输入时经销给出一个小值。的插值参数slerp是在闭区间[0,1]，那么经销必须重新归一化到这个范围。但是，插值参数的全范围[0,1]性能较差，所以限制在一个较小的范围内hrange集中在hbias．

hrange = 0.4;hbias = 0.4;

限制低和高到区间[0,1]。

Low = max(min(hbias - (hrange./2)， 1)， 0);High = max(min(hbias + (hrange./2)， 1)， 0);hranglimited = high - low;

初始化过滤器并预分配输出。

y = trajNoisy (1);初始滤波状态qout = 0(大小(y),“喜欢”, y);%预分配过滤器输出qout (1) = y;

逐样本滤波噪声轨迹。

为ii=2:numel(trajNoisy) x = trajNoisy(ii);D = dist(y, x);将dist输出重正规化到范围[低，高]hlpf = (d / pi)。* hrangeLimited +低;y = slerp (y, x, hlpf);qout (ii) = y;结束f =图;trajNoisy sp.plotEulerd (f,“o”）;trajSlerped sp.plotEulerd (f,“k -”。，“线宽”2);qout sp.plotEulerd (f,“- - -”，“线宽”2);sp.addAnnotations (f hrange hbias);

结论

SLERP可用于创建两个方向之间的短轨迹和平滑或低通滤波。它在各种工业中得到了广泛的应用。

参考文献

  1. Shoemake,肯。“用四元数曲线动画旋转。”ACMSIGRAPH电脑图形19， no .3 (1985):245-54, doi:10.1145/325165.325242

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