初始拼图

这里是一个数据矩阵B.的线索。第一行，B（1,2,2），手段行1，列2具有线索2.第二行，B（1,5,3），表示第1行，第5列具有线索3.这是整个矩阵B.。

B = [1,2,2;1,5,3;1,8,4;2,1,6;2,9,3;3,3,4;3,7,5;-4,4,8-;4,6,6;5,1,8; 5,5,1; 5,9,6; 6,4,7; 6,6,5; 7,3,7; 7,7,6; 8,1,4; 8,9,8; 9,2,3; 9,5,4; 9,8,2]; drawSudoku(B)此程序列表的％，请参阅此示例的结尾。

这个难题，并替代MATLAB®解决方案技术，是精选克利夫园地2009年。

有许多方法可以手动解决数独谜题，以及许多程序化方法。此示例显示了使用二进制整数编程的直接方法。

这种方法特别简单，因为您没有提供解决方案算法。只需表达Sudoku规则，将线索表达为解决方案的约束，然后Matlab产生解决方案。

二进制整数规划法

关键思想是从正方形9乘9网格变换一个谜于立方9乘9乘9阵列的二进制值（0或1）的。立方阵列的认为为是彼此堆叠的，其中每一层对应于从整数1到9的顶格，所述阵列的正方形层，具有1的顶部9个方格哪里溶液或线索具有1.第二层具有1哪里溶液或线索具有2第九层具有1哪里溶液或线索具有9。

这一提法正是适合二进制整数规划。

这里不需要目标函数，也可能是恒定的术语0.问题实际上只是为了找到一个可行的解决方案，这意味着满足所有约束的解决方案。然而，对于在整数编程求解器的内部构建中断，引起溶液速度增加，使用不限于的目标函数。

表达对数独的规则约束

假设一个解决方案 $$\mathrm{X.}$$在一个9×9×9阵列的二进制表示。什么样的属性呢 $$\mathrm{X.}$$有吗？首先，2-D网格（I，j）中的每个方块都有一个值，因此三维数组条目中的一个非零元素恰好 $$\mathrm{X.}（我那j那1）那。。。那\mathrm{X.}（我那j那9.）$$。换句话说，每一个 $$我$$和 $$j$$那

同样，每排 $$我$$在2-D网格中，从1到9的每个数字中的每个值恰好换句话说，每个数字 $$我$$和 $$\mathrm{K.}$$那

每列 $$j$$在2 d网格具有相同的属性：对于每个 $$j$$和 $$\mathrm{K.}$$那

主要的3×3电网具有类似的约束。对于网格元素 $$1\le .我\le .3.$$和 $$1\le .j\le .3.$$，并为每个 $$1\le .\mathrm{K.}\le .9.$$那

代表所有九个主要网格，只需向每个九个主要网格添加3或6 $$我$$和 $$j$$索引：

$$\underset{我=1}{\overset{3.}{\sigma .}}\underset{j=1}{\overset{3.}{\sigma .}}\mathrm{X.}（我+你那j+\mathrm{V.}那\mathrm{K.}）=1那$$在哪里 $$你那\mathrm{V.}\mathrm{\epsilon .}\{0.那3.那6.\}。$$

表达线索

每个初始值（线索）可以表示为约束。假设这一点 $$（我那j）$$线索 $$m$$对于某些人 $$1\le .m\le .9.$$。然后 $$\mathrm{X.}（我那j那m）=1$$。约束 $$\underset{\mathrm{K.}=1}{\overset{9.}{\sigma .}}\mathrm{X.}（我那j那\mathrm{K.}）=1$$确保所有其他人 $$\mathrm{X.}（我那j那\mathrm{K.}）=0.$$对于 $$\mathrm{K.}\ne m$$。

数独在优化问题表

创建一个优化变量X.即二进制和大小9×9×9的。

X = optimvar（'x'，9,9,9，'类型'那'整数'那“下界”，0，“上界”，1）;

有相当任意的目标函数创建一个优化问题。目标函数可以通过破坏问题的内在对称性帮助求解。

sudpuzzle = optimproblem;MUL =酮（1,1,9）;MUL = cumsum（MUL，3）;sudpuzzle.Objective =总和（求和（总和（X，1），2）* MUL）;

代表总和的约束X.在每个坐标方向上是一个。

sudpulzle.constraints.consx = sum（x，1）== 1;sudpulzle.constraints.consy = sum（x，2）== 1;sudpuzzle.constraints.consz = sum（x，3）== 1;

创建大网格和一个概率的约束。

majorg = optimconstr（3,3,9）;对于U = 1:3对于v = 1：3 arr = x（3 *（u-1）+1：3 *（u-1）+ 3,3 *（v-1）+1：3 *（v-1）+3 ,:）;majorg（u，v，:) = sum（sum（arr，1），2）== a（1,1,9）;结束结束sudpulzle.constraints.majorg = majorg;

通过在线索条目设置的1下界包括初始的线索。此设置修正相应的条目的值是1，所以设定在各避让值的溶液是线索条目。

对于U = 1：尺寸（b，1）x.lowerbound（b（u，1），b（u，2），b（u，3））= 1;结束

解决数独谜题。

sudsoln =解决（sudpuzzle）

使用intlinprog解决问题。LP：最佳目标值为405.000000。找到最佳解决方案。intlinprog在根节点停止，因为客观值在最佳值的间隙容忍度范围内，Options.absolutegAppolerance = 0（默认值）。INTCON变量在容差，选项中是整数.inteGertolerance = 1E-05（默认值）。

sudsoln =.结构与字段：X：[9x9x9双]

围绕解决方案以确保所有条目都是整数，并显示解决方案。

sudsoln.x = ROUND（sudsoln.x）;Y =酮（大小（sudsoln.x））;对于k = 2：9 y（：，：，k）= k;对于每个深度为k％乘数结束S = sudsoln.x * Y。;％乘以每由其深度进入s =总和（s，3）;％S是9×9并且保持解决难题drawsudoku

您可以轻松检查解决方案是否正确。

绘制sudoku拼图的功能

typedrawSudoku

功能drawSudoku（B）％功能用于绘制数独板％版权所有2014 MathWorks公司图;保持上;轴关闭;轴线等于％准备绘制矩形（“位置”，[0 0 9 9]，“线宽”3， '裁剪'， '关断'）％外边界矩形（ '位置'，[3,0,3,9]， '线宽'，2）％重的垂直线的矩形（ '位置'，[0,3那9.那3.],'LineWidth',2) % heavy horizontal lines rectangle('Position',[0,1,9,1],'LineWidth',1) % minor horizontal lines rectangle('Position',[0,4,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[0,7,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[1,0,1,9],'LineWidth',1) % minor vertical lines rectangle('Position',[4,0,1,9],'LineWidth',1) rectangle('Position',[7,0,1,9],'LineWidth',1) % Fill in the clues % % The rows of B are of the form (i,j,k) where i is the row counting from % the top, j is the column, and k is the clue. To place the entries in the % boxes, j is the horizontal distance, 10-i is the vertical distance, and % we subtract 0.5 to center the clue in the box. % % If B is a 9-by-9 matrix, convert it to 3 columns first if size(B,2) == 9 % 9 columns [SM,SN] = meshgrid(1:9); % make i,j entries B = [SN(:),SM(:),B(:)]; % i,j,k rows end for ii = 1:size(B,1) text(B(ii,2)-0.5,9.5-B(ii,1),num2str(B(ii,3))) end hold off end