`Fmincon`带有分析性黑森州的内点算法

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此示例显示了如何使用导数信息使解决方案过程更快，更强大。这Fmincon内点算法可以接受Hessian函数作为输入。当您提供Hessian时，您可以获得更快，更准确的解决方案，以解决约束最小化问题。

辅助功能Bigtoleft是一个目标函数，随着x（1）协调变为负。它的梯度是三元素向量。代码Bigtoleft辅助功能出现在示例的结尾。

此示例的约束设置是两个圆锥体的内饰的交点 - 一个指向，一个指向。约束函数是一个两个组件向量，该向量包含每个锥体的一个组件。因为此示例是三维的，所以约束的梯度是3 by-2矩阵。代码两次辅助功能出现在示例的结尾。

创建一个使用目标函数颜色的约束图。

％创建数字图1 =图;％创建轴axes1 =轴（轴“父母”，图1）;查看（[-63.5 18]）;网格（'上'）；抓住（'全部'）；％设置极性坐标和两个锥体r = 0：.1：6.5;th = 2*pi*（0：.01：1）;x = r'*cos（th）;y = r'*sin（th）;z = -10+sqrt（x。^2+y。^2）;zz = 3-sqrt（x。^2+y。^2）;％评估锥体表面的目标功能newxf = reshape（bigtoleft（[x（:)，y（:)，z（:)）），66,101）/3000;newxg = reshape（bigtoleft（[x（:)，y（:)，z（:)）），66,101）/3000;％创建下部冲浪，并通过目标设置颜色冲浪（x，y，z，newxf，“父母”，axes1，'edgealpha'，0.25）;％创建上层冲浪，并通过目标设置颜色冲浪（X，Y，ZZ，NEWXG，“父母”，axes1，'edgealpha'，0.25）;轴平等的

图包含一个轴对象。轴对象包含2个类型表面对象。

创建Hessian功能

在Fmincon求解器，您必须创建一个是拉格朗日人的黑森州的黑森州。拉格朗日的黑森州由等式给出

$\nabla_{X X}^{2} l （（ X ，，，， λ ） = \nabla^{2} F （（ X ） + \sum λ_{一世} \nabla^{2} C_{一世} （（ X ） + \sum λ_{一世} \nabla^{2} C e 问_{一世} （（ X ）。$

这里， $F （（ X ）$ 是个Bigtoleft功能，以及 $C_{一世} （（ X ）$ 是两个圆锥约束功能。这Hessinterior辅助功能在示例的结尾在某个时候计算Lagrangian的HessianX使用Lagrange乘数结构兰姆达。该功能首先计算 $\nabla^{2} F （（ X ）$ 。然后，它计算两个约束Hessians $\nabla^{2} C_{1} （（ X ）$ 和 $\nabla^{2} C_{2} （（ X ）$ ，将它们乘以相应的Lagrange乘数lambda.ineqnonlin（1）和lambda.ineqnonlin（2），并添加它们。您可以从两次约束功能 $\nabla^{2} C_{1} （（ X ） = \nabla^{2} C_{2} （（ X ）$ ，这简化了计算。

创建使用衍生品的选项

启用Fmincon要使用客观梯度，约束梯度和Hessian，您必须设置适当的选项。这Hessianfcn使用Lagrangian的Hessian的选项仅适用于内点算法。

选项= optimoptions（'fmincon'，，，，'算法'，，，，“内点”，，，，...“指定限制器”，真的，“指定对象级”，真的，...'Hessianfcn'，@hessinterior）;

使用所有衍生信息最小化

设定初始点x0 = [-1，-1，-1]。

x0 = [-1，-1，-1];

该问题没有线性约束或界限。将这些论点设置为[]。

a = [];b = [];aeq = [];beq = [];lb = [];ub = [];

解决这个问题。

[x，fval，eflag，output] = fmincon（@bigtoleft，x0，...a，b，aeq，beq，lb，ub，@twocone，options）;

当地最低限度发现满足约束。之所以完成优化，是因为目标函数在可行的方向，最优性公差值之内不折叠，并且在约束公差的值之内满足了约束。

检查解决方案和解决方案过程

检查解决方案，目标函数值，退出标志以及功能评估和迭代次数。

disp（x）

-6.5000 -0.0000 -3.5000

disp（FVAL）

-2.8941e+03

disp（eflag）

disp（[output.funccount，output.Iterations]）

7 6

如果您不使用Hessian功能，Fmincon需要更多的迭代来收敛并需要更多的功能评估。

options.hessianfcn = [];[x2，fval2，eflag2，output2] = fmincon（@bigtoleft，x0，...a，b，aeq，beq，lb，ub，@twocone，options）;

当地最低限度发现满足约束。之所以完成优化，是因为目标函数在可行的方向，最优性公差值之内不折叠，并且在约束公差的值之内满足了约束。

disp（[[output2.funccount，output2.Iterations]）

13 9

如果您还不包括梯度信息，Fmincon进行相同数量的迭代，但需要更多的功能评估。

options.specifyconstraintgradient = false;options.specifyObjectiveGradient = false;[x3，fval3，eflag3，output3] = fmincon（@bigtoleft，x0，...a，b，aeq，beq，lb，ub，@twocone，options）;

当地最低限度发现满足约束。之所以完成优化，是因为目标函数在可行的方向，最优性公差值之内不折叠，并且在约束公差的值之内满足了约束。

disp（[[output3.funccount，output3.iterations]）

43 9

助手功能

此代码创建Bigtoleft助手功能。

功能[F gradf] = bigtoleft（x）％这是一个简单的函数，迅速增长％x（1）变为负％f = 10*x（：，1）。^3+x（：，1）。*x（：，2）。^2+x（：，3）。+x（：，2）。^2）;如果nargout> 1 gradf = [30*x（1）^2+x（2）^2+2*x（3）*x（1）;2*x（1）*x（2）+2*x（3）*x（2）;（x（1）^2+x（2）^2）];结尾结尾

此代码创建两次助手功能。

功能[C CEQ GARGC GRADCEQ] = TWOCONE（X）％此约束是两个锥体，z> -10 + r％和z <3 -rceq = [];r = sqrt（x（1）^2 + x（2）^2）;C = [-10+R-X（3）;x（3）-3+r];如果nargout> 2 gradceq = [];gradc = [x（1）/r，x（1）/r;x（2）/r，x（2）/r;-1,1];结尾结尾

此代码创建Hessinterior助手功能。

功能h = hessInterior（x，lambda）h = [60*x（1）+2*x（3），2*x（2），2*x（1）;2*x（2），2*（x（1）+x（3）），2*x（2）;2*x（1），2*x（2），0];％f的Hessianr = sqrt（x（1）^2+x（2）^2）;％ 半径rinv3 = 1/r^3;hessc = [（x（2））^2*rinv3，-x（1）*x（2）*rinv3,0;-x（1）*x（2）*rinv3，x（1）^2*rinv3,0;0,0,0];C（1）和C（2）的Hessian％h = h + lambda.ineqnonlin（1）*hessc + lambda.ineqnonlin（2）*hessc;结尾