问题定义

考虑建造一个马戏帐篷以覆盖正方形。帐篷有五个杆子，上面覆盖着浓重的弹性材料。问题是找到帐篷的自然形状。建模形状为高度X（（p）位于位置的帐篷p。

重型材料的势能提升到高度X是CX，为一个常数C这与材料的重量成正比。对于这个问题，选择C= 1/3000。

一块材料的弹性势能 $$e_{stretCH}$$与材料高度的第二个衍生物大致成正比，乘以高度。您可以通过5点有限差近似值近似第二个导数（假设有限差步长为尺寸1）。让 $$\delta X$$代表第一个坐标方向的1个移位，并且 $$\delta y$$在第二个坐标方向上表示1位。

帐篷的自然形状可最大程度地减少总势能。通过离散问题，您发现最小化的总势能是所有位置的总和p的 $$e_{stretCH}（（p）$$+CX（（p）。

这种势能是变量中的二次表达X。

指定边界条件，即边缘处的帐篷高度为零。帐篷杆的横截面为1 x-1单元，帐篷的总尺寸为33 x 33个单位。指定每个杆的高度和位置。绘制正方形的地块区域和帐篷杆。

高度=零（33）;高度（6：7,6：7）= 0.3;高度（26：27,26：27）= 0.3;高度（6：7,26：27）= 0.3;高度（26：27,6：7）= 0.3;高度（16：17,16：17）= 0.5;colormap（灰色）;Surfl（高度）轴紧的查看（[ -  20,30]）;标题（“帐篷杆和覆盖区域”）

创建边界条件

这高度矩阵定义溶液上的下限X。要限制解决方案在边界处为零，请设置上限UB在边界上为零。

边界= false（size（height））;边界（[1,33]，:) = true;边界（：，[1,33]）= true;ub = inf（size（boundary））;％在该地区的大多数地方没有上限ub（boundary）= 0;

创建目标函数矩阵

这Quadprog问题公式是最小化

$$\frac{1}{2}{X}^{t}HX+F^{t}X$$。

在这种情况下，线性术语 $$F^{t}X$$对应于材料高度的势能。因此，指定F= 1/3000的每个组件X。

f =一个（尺寸（高度））/3000;

创建代表有限差矩阵 $$e_{stretCH}$$通过使用delsq功能。这delsq函数返回一个稀疏矩阵，其条目为4和-1，对应于公式中4和-1的条目 $$e_{stretCH}（（p）$$。将返回的矩阵乘以2Quadprog用由能量函数求解二次程序 $$e_{stretCH}$$。

h = delsq（numgrid（'，33+2））*2;

查看矩阵的结构H。矩阵在X（：），这意味着矩阵X通过线性索引转换为向量。

间谍（h）;标题（“黑森矩阵的稀疏结构”）；

运行优化求解器

通过打电话解决问题Quadprog。

x = quadprog（h，f，[]，[]，[]，[]，[]，height，ub）;

最低限度发现满足约束。之所以完成优化，是因为目标函数在可行的方向，最优性公差值之内不折叠，并且在约束公差的值之内满足了约束。

图解决方案

重塑解决方案X到矩阵s。然后绘制解决方案。

s = rephape（x，size（height））;Surfl（S）；轴紧的;查看（[ -  20,30]）;