单位圆盘上的泊松方程

此示例演示如何数值求解泊松方程，将数值解与精确解进行比较，并细化网格，直到解接近。金宝搏官方网站

具有零Dirichlet边界条件的单位圆盘上的泊松方程可以写成 $- Δ U = 1.$ 在里面 $Ω$ , $U = 0$ 在 $δ Ω$ 哪里 $Ω$ 是单位磁盘。精确解为

$U (x, Y) = \frac{1. - x^{2.} - Y^{2.}}{4.} .$

对于大多数偏微分方程，精确解是未知的。但是，单位圆盘上的泊松方程有一个已知的精确解，您可以使用它来查看在细化网格时误差是如何减小的。

问题定义

创建PDE模型并包含几何图形。

model=createpde（）；geometryFromEdges（model，@circleg）；

打印几何图形并显示边界条件定义中使用的边标签。

图pdegplot（模型，“EdgeLabels”,“开”)；轴线相同的

图形包含一个轴。轴包含5个类型为line、text的对象。

在所有边上指定零Dirichlet边界条件。

applyBoundaryCondition（模型，“迪里克莱”,“边缘”1: model.Geometry.NumEdges,“你”, 0);

指定系数。

特定系数（型号，“米”,0,“d”,0,“c”1.“a”,0,“f”,1);

粗网格的求解及误差分析

创建一个最大元素尺寸为0.1的网格。

hmax=0.1；生成网格（模型，“Hmax”，hmax）；图pdemesh（模型）；轴相同的

图中包含一个轴。该轴包含两个类型为line的对象。

解偏微分方程并画出解。

结果=解算PDE（模型）；u=结果。节点解算；pdeplot（模型，“XYData”（u）标题(“数值解”)；xlabel(“x”) ylabel (“是的”)

图中包含一个轴。标题为“数值解”的轴包含一个patch类型的对象。

将该结果与精确的解析解进行比较，并绘制误差图。

p=model.Mesh.Nodes；精确=（1-p（1，：）.^2-p（2，：）.^2）/4；pdeplot（model，“XYData”，u-确切名称(“错误”)；xlabel(“x”) ylabel (“是的”)

图中包含一个坐标轴。标题为Error的轴包含patch类型的对象。

金宝搏官方网站精细网格的解与误差

求解方程，同时在每次迭代中细化网格，并将结果与精确解进行比较。每次细化将最大波高优化网格，直到误差向量的无穷范数小于 ${5. \cdot 10}^{- 7.}$ .

hmax=0.1；error=[]；err=1；虽然误差>5e-7%运行直到错误<=5e-7generateMesh（模型，“Hmax”，hmax）；%细化网格结果=解算PDE（模型）；u=结果.NodalSolution；p=模型.Mesh.Nodes；精确=（1-p（1，：）.^2-p（2，：）.^2）/4；错误=范数（u-精确'）；%与精确解比较错误=[error err]；%记录错误的历史hmax=hmax/2；终止

绘制每次迭代的误差向量的无穷范数。误差值在每次迭代中减小。

绘图（错误，“rx”,“MarkerSize”12);甘氨胆酸ax =;斧子。XTick = 1:元素个数(错误);标题(“错误历史记录”)；xlabel(“迭代”)；伊莱贝尔(“错误标准”);

图中包含一个轴。具有标题错误历史记录的轴包含一个line类型的对象。

绘制最终网格及其相应的解决方案。

图pdemesh（型号）；轴相同的

图中包含一个轴。该轴包含两个类型为line的对象。

图pdeplot（型号，“XYData”（u）标题(“数值解”)；xlabel(“x”) ylabel (“是的”)

图中包含一个轴。标题为“数值解”的轴包含一个patch类型的对象。

将结果与精确的解析解进行比较，并绘制误差图。

p=model.Mesh.Nodes；精确=（1-p（1，：）.^2-p（2，：）.^2）/4；pdeplot（model，“XYData”，u-确切名称(“错误”)；xlabel(“x”) ylabel (“是的”)

图中包含一个坐标轴。标题为Error的轴包含patch类型的对象。

偏微分方程工具箱文档

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