平方域上的波动方程

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这个例子说明了如何用solvepde函数。

标准的二阶波动方程是

$\frac{*^{2} u}{* t^{2}} - * \cdot * u = 0 。$

若要在“工具箱”形式中表示此属性，请注意solvepde功能解决了表单的问题

$米 \frac{*^{2} u}{* t^{2}} - * \cdot (c * u) + 一个 u = f 。$

所以标准的波动方程有系数 $米 = 1$ , $c = 1$ , $一个 = 0$ , $f = 0$ 。

c = 1;= 0;f = 0;m = 1;

在平方域上解决问题。的squareg函数描述了这个几何图形。创建一个模型对象和包括几何图形。绘制几何图形并查看边缘标签。

numberOfPDE = 1;模型= createpde (numberOfPDE);geometryFromEdges(模型、@squareg);pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”);ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的标题“显示边缘标签的几何图形”;包含xylabely

指定PDE系数。

specifyCoefficients(模型,“米”米,' d '0,“c”c“一个”一个,“f”f);

在左侧(边缘4)和右侧(边缘2)设置零狄利克雷边界条件，在顶部(边缘1)和底部(边缘3)设置零诺伊曼边界条件。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”,“边缘”(2、4),“u”,0);applyBoundaryCondition(模型,“纽曼”,“边缘”3 ([1]),‘g’,0);

创建并查看问题的有限元网格。

generateMesh(模型);图pdemesh(模型);ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的包含xylabely

设定以下初始条件:

$u (x, 0) = 反正切 (因为 (\frac{π x}{2}))$ 。
${\frac{* u}{* t} |}_{t = 0} = 3. 罪 (π x) 经验值 (罪 (\frac{π y}{2}))$ 。

u0 = @(location) atan(cos(pi/2*location.x));ut0 = @(location) 3*sin(pi*location.x).*exp(sin(pi/2*location.y));setInitialConditions(模型、情况ut0);

这种选择避免了把能量投入到较高的振动模式，并允许一个合理的时间步长。

指定解乘以从0到5的31个等距点。

n = 31;tlist = linspace (0 5 n);

设置SolverOptions.ReportStatistics的模型来“上”。

model.SolverOptions。ReportStatistics =“上”;结果= solvepde(模型、tlist);

459成功步骤39次失败尝试998次函数计算1偏导数115 LU分解线性系统的997个解金宝搏官方网站

u = result.NodalSolution;

创建一个动画来可视化所有时间步骤的解决方案。保持一个固定的垂直比例尺，首先计算的最大值和最小值u在任何时候，并缩放所有的图来使用它们 $z$ 设在限制。

图umax = max(max(u));umin = min (min (u));为i = 1:n pdeplot(模型，“XYData”u(:,我),“ZData”u(:,我),“ZStyle”,“连续”,…“网”,“关闭”,“XYGrid”,“上”,“ColorBar”,“关闭”);轴([-1 -1 -1 -1 umin umax]);caxis ([umin umax]);包含xylabelyzlabeluM (i) = getframe;结束

要播放动画，使用电影(M)命令。

偏微分方程工具箱文件

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