主要内容

线性弹性方程

线弹性方程摘要

线弹性各向同性材料的刚度矩阵包含两个参数:

  • E，杨氏模量(弹性模量)

  • ν，泊松比

定义以下数量。

σ ＝ 压力 f ＝ 身体的力量 ε ＝ 应变 u ＝ 位移

平衡方程是

− ∇ · σ ＝ f

线性化的小位移应变-位移关系为

ε ＝ 1 2 （ ∇ u + ∇ u T ）

角动量的平衡表明应力是对称的:

σ 我 j ＝ σ j 我

线性各向同性模型本构方程的Voigt符号为

［ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ］ ＝ E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ［ 1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν ］ ［ ε 11 ε 22 ε 33 ε 23 ε 13 ε 12 ］

展开的表单使用中的所有条目σ而且ε考虑对称性。

［ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ］ ＝ E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ［ 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 0 • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 • • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 • • • • 1 − ν 0 0 0 ν • • • • • 1 − 2 ν 0 0 0 • • • • • • 1 − 2 ν 0 0 • • • • • • • 1 − 2 ν 0 • • • • • • • • 1 − ν ］ ［ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ］ (1）

在上图中，•表示该条目是对称的。

三维线弹性问题

这个方程的工具箱形式是

− ∇ · （ c ⊗ ∇ u ） ＝ f

但是摘要中的方程中没有“∇”u单独地，它和它的转置一起出现:

ε ＝ 1 2 （ ∇ u + ∇ u T ）

把这个方程转换成应变是一个简单的练习ε对∇u．在列向量形式下，

∇ u ＝ ［ ∂ u x / ∂ x ∂ u x / ∂ y ∂ u x / ∂ z ∂ u y / ∂ x ∂ u y / ∂ y ∂ u y / ∂ z ∂ u z / ∂ x ∂ u z / ∂ y ∂ u z / ∂ z ］

因此，可以将应变-位移方程写成

ε ＝ ［ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ］ ∇ u ≡ 一个 ∇ u

在哪里一个表示显示的矩阵。所以重写方程1，回想一下，•意味着一个项是对称的，你可以把刚度张量写成

σ ＝ E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ［ 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 0 • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 0 • • • 1 − 2 ν 0 0 0 0 0 • • • • 1 − ν 0 0 0 ν • • • • • 1 − 2 ν 0 0 0 • • • • • • 1 − 2 ν 0 0 • • • • • • • 1 − 2 ν 0 • • • • • • • • 1 − ν ］ 一个 ∇ u ＝ E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ［ 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 ν 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 ν 0 0 0 1 − ν 0 0 0 ν 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 1 / 2 − ν 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2 − ν 0 1 / 2 − ν 0 ν 0 0 0 ν 0 0 0 1 − ν ］ ∇ u

做出定义

μ ＝ E 2 （ 1 + ν ） λ ＝ E ν （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） E （ 1 − ν ） （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ＝ 2 μ + λ

方程就变成了

σ ＝ ［ 2 μ + λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 2 μ + λ 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 2 μ + λ ］ ∇ u ≡ c ∇ u

如果你在解三维线弹性问题用PDEModel而不是StructuralModel，使用elasticityC3D (E,ν)函数(包含在您的软件中)来获取c系数。该函数对各向同性材料使用线性化的小位移假设。有关使用此函数的示例，请参见StationaryResults．

平面应力

平面应力是在平面中普遍存在的一种情况x-y平面，只装载在自己的平面上而不装载z方向约束。对于平面应力，σ13＝σ23＝σ31＝σ32＝σ33= 0。假设各向同性条件下，平面应力的胡克定律给出如下应变-应力关系:

［ ε 11 ε 22 2 ε 12 ］ ＝ 1 E ［ 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 + 2 ν ］ ［ σ 11 σ 22 σ 12 ］

将该方程反求，得到应力-应变关系:

（ σ 11 σ 22 σ 12 ） ＝ E 1 − ν 2 （ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ） （ ε 11 ε 22 2 ε 12 ）

将方程转换为应变ε对∇u．

ε ＝ ［ 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 ］ ∇ u ≡ 一个 ∇ u

现在你可以把刚度矩阵重写为

［ σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 ］ ＝ ［ E 1 − ν 2 0 0 E ν 1 − ν 2 0 E 2 （ 1 + ν ） E 2 （ 1 + ν ） 0 0 E 2 （ 1 + ν ） E 2 （ 1 + ν ） 0 E ν 1 − ν 2 0 0 E 1 − ν 2 ］ ∇ u ＝ ［ 2 μ （ μ + λ ） 2 μ + λ 0 0 2 λ μ 2 μ + λ 0 μ μ 0 0 μ μ 0 2 λ μ 2 μ + λ 0 0 2 μ （ μ + λ ） 2 μ + λ ］ ∇ u

平面应变

平面应变是一种不存在位移的变形状态z方向上的位移x- - -y-方向是的函数x而且y但不是z．应力-应变关系与平面应力情况仅略有不同，并且使用相同的材料参数集。

对于平面应变，ε13＝ε23＝ε31＝ε32＝ε33= 0。假设各向同性条件下，应力-应变关系为:

（ σ 11 σ 22 σ 12 ） ＝ E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） （ 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν 2 ） （ ε 11 ε 22 2 ε 12 ）

将方程转换为应变ε对∇u．

ε ＝ ［ 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 ］ ∇ u ≡ 一个 ∇ u

现在你可以把刚度矩阵重写为

［ σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 ］ ＝ ［ E （ 1 − ν ） （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） 0 0 E ν （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） 0 E 2 （ 1 + ν ） E 2 （ 1 + ν ） 0 0 E 2 （ 1 + ν ） E 2 （ 1 + ν ） 0 E ν （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） 0 0 E （ 1 − ν ） （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） ］ ∇ u ＝ ［ 2 μ + λ 0 0 λ 0 μ μ 0 0 μ μ 0 λ 0 0 2 μ + λ ］ ∇ u