压电作动器挠度

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这个例子展示了如何解决弹性-静电耦合问题。

压电材料在外加电压下会变形。相反，压电材料的变形会产生电压。因此，压电部件的分析需要求解一组以挠度和电势为因变量的耦合偏微分方程。

在这个例子中，模型是一个两层悬臂梁，两层都由相同的聚偏氟乙烯(PVDF)材料制成。极化方向向下(负y-direction)在顶层，并在底层指向上面。典型的长厚比是100。当你在光束的上下表面之间施加电压时，光束就会发生偏转y-方向，因为一层变短，另一层变长。

平衡方程描述了固体的弹性行为:

$- \nabla \cdot σ ＝ f$

在这里, $σ$ 是应力张量，和 $f$ 是物体的力向量。高斯定律描述了固体的静电行为:

$\nabla \cdot D ＝ ρ$

$D$ 是电位移，和 $ρ$ 是分配的免费费用。将这两个PDE系统合并为一个系统:

$- \nabla \cdot ｛ \begin{array}{c} σ \\ D \end{array} ｝＝｛ \begin{array}{c} f \\ - ρ \end{array} ｝$

对于二维分析， $σ$ 有组件 $σ_{11} ， σ_{22} ，$ 而且 $σ_{12} ＝ σ_{21}$ , $D$ 有组件 $D_{1}$ 而且 $D_{2}$ ．

材料的本构方程用应变张量和电场来定义应力张量和电位移矢量。对于平面应力条件下正交各向异性压电材料的二维分析，可以将这些方程写成

$｛ \begin{array}{c} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \\ D_{1} \\ D_{2} \end{array} ｝＝［ \begin{array}{ccccc} C_{11} & C_{12} & e_{11} & e_{3. 1} \\ C_{12} & C_{22} & e_{1 3.} & e_{3. 3.} \\ G_{12} & e_{14} & e_{3. 4} \\ e_{11} & e_{1 3.} & e_{14} & - E_{1} \\ e_{3. 1} & e_{3. 3.} & e_{3. 4} & - E_{2} \end{array} ］｛ \begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \\ - E_{1} \\ - E_{2} \end{array} ｝$

$C_{我 j}$ 弹性系数， $E_{我}$ 电介电常数和 $e_{我 j}$ 为压电应力系数。这些方程中的压电应力系数符合压电材料的常规符号z-direction(第三个方向)与材料的“极化”方向对齐。对于2-D分析，将“极化”方向与y设在。把应变向量写成x位移 $u$ 而且y位移 $v$ ：

$｛ \begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \end{array} ｝＝｛ \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \end{array} ｝$

把电场写成电势的形式 $ϕ$ ：

$｛ \begin{array}{c} E_{1} \\ E_{2} \end{array} ｝＝ - ｛ \begin{array}{c} \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array} ｝$

你可以把应变-位移方程和电场方程代入本构方程，得到一个用位移和电势导数表示的应力和电位移方程组。将得到的方程代入PDE方程组，得到一个包含位移导数和电势导数散度的方程组。作为下一步，排列这些方程以匹配工具箱所需的形式。

偏微分方程工具箱™需要一个椭圆方程系统以矢量形式表示:

$- \nabla \cdot （ c \otimes \nabla u ） + 一个 u ＝ f$

或者是张量形式:

$- \frac{\partial}{\partial x_{k}} （ c_{我 j k l} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}} ） + {一个}_{我 j} u_{j} ＝ f_{我}$

这里的重复指标意味着求和。对于本例中的二维压电系统，系统矢量 $u$ 是

$u ＝｛ \begin{array}{c} u \\ v \\ ϕ \end{array} ｝$

这是一个 $N ＝ 3.$ 系统。的梯度 $u$ 是

$\nabla u ＝｛ \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array} ｝$

有关以工具箱所需的格式指定系数的详细信息，请参阅:

这个例子中的c系数是一个张量。你可以用2 × 2块的3 × 3矩阵表示它:

$［ \begin{array}{cccccc} c （ 1 ） & c （ 2 ） & c （ 4 ） & c （ 6 ） & c （ 11 ） & c （ 1 3. ） \\ \cdot & c （ 3. ） & c （ 5 ） & c （ 7 ） & c （ 12 ） & c （ 14 ） \\ \cdot & \cdot & c （ 8 ） & c （ 9 ） & c （ 15 ） & c （ 17 ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & c （ 10 ） & c （ 16 ） & c （ 18 ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c （ 19 ） & c （ 20 ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c （ 21 ） \end{array} ］$

为了将本构方程的项映射到工具箱所需的形式，将c张量和解的梯度写成这样的形式:

$［ \begin{array}{cccccc} c_{1111} & c_{1112} & c_{1211} & c_{1212} & c_{1 3. 11} & c_{1 3. 12} \\ \cdot & c_{1122} & c_{1221} & c_{1222} & c_{1 3. 21} & c_{1 3. 22} \\ \cdot & \cdot & c_{2211} & c_{2212} & c_{2 3. 11} & c_{2 3. 12} \\ \cdot & \cdot & \cdot & c_{2222} & c_{2 3. 21} & c_{2 3. 22} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{3. 3. 11} & c_{3. 3. 12} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{3. 3. 22} \end{array} ］｛ \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array} ｝$

从这个方程，你可以将传统的本构系数映射到c矩阵所需的形式。电场方程中的负号被并入到c矩阵中，以匹配工具箱的惯例。

$［ \begin{array}{cccccc} C_{11} & \cdot & \cdot & C_{12} & e_{11} & e_{3. 1} \\ \cdot & G_{12} & G_{12} & \cdot & e_{14} & e_{3. 4} \\ \cdot & \cdot & G_{12} & \cdot & e_{14} & e_{3. 4} \\ \cdot & \cdot & \cdot & C_{22} & e_{1 3.} & e_{3. 3.} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & - E_{1} & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & - E_{2} \end{array} ］｛ \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array} ｝$

梁几何

创建PDE模型。线弹性方程有三个分量，因此模型必须有三个方程。

模型= createpde(3);

创建几何图形并将其包含在模型中。

L = 100e-3;%光束长度，单位为米H = 1e-3;%梁的总高度H2 = h /2;%每层高度，单位为米topLayer = [3 4 0 L L 0 0 0 H2 H2];bottomLayer = [3 4 0 L L 0 -H2 -H2 0 0];gdm = [topLayer;bottomLayer]';G = decsg(gdm，R1 + R2的, (R1的；R2的]“);geometryFromEdges(模型中,g);

用面和边标签绘制几何图形。

图pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”，.．.“FaceLabels”，“上”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([- 1*L,1.1*L，-4*H2,4*H2]广场

图中包含一个轴对象。axis对象包含10个类型为line, text的对象。

材料特性

指定梁层的材料属性。两层材料都是聚偏氟乙烯(PVDF)，一种具有压电性能的热塑性聚合物。

E = 2.0e9;%弹性模量，N/m^2Nu = 0.29;泊松比G = 0.775e9;%剪切模量，N/m^2D31 = 2.2e-11;%压电应变系数，C/ND33 = -3.0e-11;

指定材料在恒定应力下的相对电介电常数。

relPermittivity = 12;

指定真空的电介电常数。

permittivityFreeSpace = 8.854187817620e-12;% F / mC11 = e /(1 - ^2);C12 = nu * c11;c2d = [C11 C12 0;C12 c11 0;0 0 g];pzeD = [0 d31;0 d33;0 0];

指定压电应力系数。

pzeE = c2d*pzeD;D_const_stress = [relPermittivity 0;0 relPermittivity] * permittivityFreeSpace;

将介电矩阵从恒应力转换为恒应变。

D_const_strain = D_const_stress - pzeD'*pzeE;

你可以把这21个系数看成是2 × 2块的3 × 3矩阵。的cij矩阵是这个矩阵的上三角形中的2 × 2块。

C11 = [c2d(1,1) c2d(1,3) c2d(3,3)];C12 = [c2d(1,3) c2d(1,2);c2d(3)汇集(2、3)];C22 = [c2d(3,3) c2d(2,3) c2d(2,2)];c13 = [pzeE(1,1) pzeE(1,2);pzeE (3,1) pzeE (2)];c23 = [pzeE(3,1) pzeE(3,2);pzeE (2, 1) pzeE (2, 2)];c33 = [D_const_strain(1,1) D_const_strain(2,1) D_const_strain(2,2)];Ctop = [c11(:); c12(:); c22(:); -c13(:); -c23(:); -c33(:)]; cbot = [c11(:); c12(:); c22(:); c13(:); c23(:); -c33(:)]; f = [0 0 0]'; specifyCoefficients(model,“米”，0，' d '，0，“c”ctop,“一个”，0，“f”f“脸”2);specifyCoefficients(模型,“米”，0，' d '，0，“c”芝加哥期货交易所,“一个”，0，“f”f“脸”1);

边界条件

设置光束顶部(边缘1)的电压(溶液组件3)为100伏。

voltTop =应用边界条件(模型，“混合”，.．.“边缘”, 1.．.“u”, 100,.．.“EquationIndex”3);

通过将电压设置为0，指定光束的底部(边缘2)接地。

volbot =应用边界条件(模型，“混合”，.．.“边缘”2,.．.“u”，0，.．.“EquationIndex”3);

属性指定左边(边6和边7)是夹紧的x- - -y-位移(溶液组分1和2)到0。

clpleft =应用边界条件(模型，“混合”，.．.“边缘”者,.．.“u”[0 0],.．.“EquationIndex”1:2);

梁右侧的应力和电荷为零。因此，对边3和边4使用默认边界条件。

有限元与解析解金宝搏官方网站

生成网格并求解模型。

msh = generateMesh(模型，“Hmax”5的军医);Result = solvepde(模型)

结果= StationaryResults with properties: nodesolution: [3605x3 double] XGradients: [3605x3 double] YGradients: [3605x3 double] ZGradients: [0x3 double] Mesh: [1x1 FEMesh]

在节点位置访问解决方案。第一列包含x偏转。第二列包含y偏转。第三列是电势。

rs = result. nodesolution;

求最小值y偏转。

feTipDeflection = min(rs(:，2));流('有限元尖端挠度为:%12.4e\n', feTipDeflection);

有限元尖端挠度为:-3.2900e-05

将这个结果与已知的解析解进行比较。

tipDeflection = -3*d31*100*L^2/(8*H2^2);流('分析尖端挠度为:%12.4e\n', tipDeflection);

解析尖端偏转为:-3.3000e-05

画出偏转分量和电势。

varsToPlot = char(“X-Deflection,米”，.．.“y偏转,米”，.．.电势，伏特）;为i = 1:size(varsToPlot,1) figure;pdeplot(模型,“XYData”rs(:我),“轮廓”，“上”)标题(varsToPlot(我:))%缩放轴，使它更容易查看轮廓xlabel([0, L， -4*H2, 4*H2])“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴广场结束

图中包含一个轴对象。标题为X-Deflection, meters的axis对象包含12个类型为patch、line的对象。

图中包含一个轴对象。标题为Y-Deflection, meters的坐标轴对象包含12个类型为patch、line的对象。

图中包含一个轴对象。标题为Electrical Potential, Volts的axis对象包含12个类型为patch, line的对象。

参考文献

黄禹锡，朴玄哲。压电传感器和执行器的有限元建模张仁杂志31日,5号(1993年5月):930-937。
Pieford, V。压电活性结构的有限元建模博士羞辱。，Universite Libre De Bruxelles, 2001.

偏微分方程工具箱文档

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